行列の固有値

質問

A^2=Aを満たす行列の固有値は0または1であることを示せ。(フロベニウスの定理は使わずに)　という問題なんですがフロベニウスの定理を使わないとなるとどういう方法で示せばいいのでしょうか?
フロベニウスに頼りすぎてよくわかりません；
初めの方だけでも構いませんのでお願いします。

回答No.1

mazoo · ベストアンサー

Aの固有ベクトルをx(≠0)、その固有値をλとしたら、
Ax=λx
が成り立ちます。
A^2=A
から
(A^2) x = A x
A(Ax)=Ax
A(λx)=λx
λAx=λx
(λ^2)x = λx
(λ^2-λ)x=0
でx≠0よりλ=0or1

でいいんじゃないですか？