固有値問題のような問題

質問

いま、取り組んでいる問題が下記の形に帰着できたのですが、
それから先に進まず困っております。

■問題
　A ：　2N x 2N の実対称行列
　a(i) ：　2 次元の列ベクトル。 i = 1,...,N。 ただし、各 a_i の大きさは１。（ a_i ・ a_i = 1 ）
　a：　2N 次元の列ベクトル。{ a_i | i=1,...N } の 2N 個の要素を縦に並べたもの。
　λ(i) ：　実数。i = 1,...,N。

　添付画像の式が成り立つときに、a(i) を求めたいです。

■今のアプローチ
　今のところ思いつくアプローチは以下のようなものですが、
　問題の特性を活かした、もう少し、良い方法は無いかと思っています。

　a． a(i) = ( cosθ_i , sinθ_i ) とおいて、 a_i ・ a_i = 1 の制約式を無くして、
　　　N 変数の連立方程式を数値的に探索する。
　b．逐次２次計画法による繰り返し計算
c．行列 A を対角化してみましたが、その後、解に繋がりません。

■補足
　可能な限り解析的に求めたいと思っていますが、
　無理であれば、もちろん、数値的解法もご提案ください。
　もちろん、こんな分野を探してみては？　という情報でも構いません。

よろしくお願いします。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

なるほど。

(xi, yi) を di*(xi/di, yi/di) と基準化するまでは OK ですが、λi = di*λとした途端に NG ですね。

難問です。
ギブアップ。

お礼

ここまで考えていただいてありがとうございました。

ずっと一人で考えていたので、
「簡単には解けない」　ということが分かっただけでも収穫でした。

数値的解法など、別の方法も検討してみます。

難しいものは難しいということで、ベストアンサーとさせていただきます。

回答No.4

178-tall

>この問題では、各ベクトル a_i = ( x_i, y_i ) 毎に、ノルムが 1 という 制約があり、その点が異なっております。
>そのため、Λに含まれる N 個の λ の値が異なっていても良い、という問題になっております。

　　ベクトル ai = (xi, yi) 毎にノルム基準化すればよいのでしょうか？

ならば、(これまでの書き換えは無用) ふつうに Aa = λa を解き、ある固有値λとその固有ベクトル [a] = [(xi, yi)]^t について、
　　ベクトル ai = (xi, yi) 毎に di = √(xi^2 + yi^2),　λi = di*λ,　ai = (xi/di, yi/di)
とノルム基準化するのでは…。

補足

再度、ご確認ありがとうございます。
ご指摘の内容を自分なりに検討してみました。

以下のように式の番号を振りました。

　ai = (xi, yi) …(1)
　[a] = [(xi, yi)]^t …(2)
di = √(xi^2 + yi^2) …(3)
Aa = λa …(4)
　λi = di*λ …(5)
　a'i = (xi/di, yi/di) …(6)
　[a'] = [(xi/di, yi/di)]^t …(7)

この場合に、確認内容は以下のように書けると思います。

　＜確認事項A＞
　(4) が成り立つ場合に、(5) と (6) に示す { λi, a'i } を、
　質問の添付画像に示した式 (8 とします) に代入して、
　等号が成立するか。

代入の結果、(8) の右辺は(4) の右辺と同じになるため、
(4) が成り立つなら、両者の左辺も等しくなるはずです。

しかし、左辺は

　(4) --> Aa
　(8) --> Aa'　　※ a' は (7) で示すベクトル

なので、一般には等しくなく、＜確認事項A＞ は不成立と
思いました。

何か考え違いをしているかもしれませんが、
自分では分かりませんでした。

何度も済みませんが、よろしくお願いします。。。

回答No.3

178-tall

>　[(A11 - Λ)　A12　；　A21　(A22 - Λ)][x, y]^t = [0, 0]^t　　…(1)

だとすると、A = [A11　A12　；　A21　A22] が所与として {Λ, x, y} を求めるのなら、ふつうの固有値問題のスタイル。
それだと、
　Λ = λU　： U は単位行列　： Λ = diag(λ λ … λ)
の形。

これじゃ、原題の形になりませんね。
原題では、式 (1) の中で、どれが所与 (given) なのですか？

補足

再度、ご確認いただきありがとうございます。

　所与：　A
　見つけたい変数： {Λ, x, y}

上記で、ご認識は合っております。

最初の問題記述のなかで　「各 a_i の大きさは１」　と書いたのは、
全ての i に対して、

　x_i * x_i + y_i * y_i = 1

という意味です。

つまり、

　　x^2 + y^2 = x_1 * x_1 + y_1 * y_1 + ... + x_N * x_N + y_N * y_N = 1

であれば、通常の固有値問題ですが、
この問題では、各ベクトル a_i = ( x_i, y_i ) 毎に、ノルムが 1 という
制約があり、その点が異なっております。

そのため、Λに含まれる N 個の λ の値が異なっていても良い、
という問題になっております。

問題の記述がわかりにくく、何度もご確認のご質問をいただきまして
本当に恐縮です。。。

回答No.2

178-tall

問題そのものが判らないので、いつ放り出しても駄目モトですが…。

a = [x_1, y_1, x_2, y_2, ..., x_N, y_N]^t は並べ替え。
　x = [x_1, x_2, ..., x_N]^t
　y = [y_1, y_2, ..., y_N]^t

A も並べ替えてブロック分割。
　A = [A11　A12　；　A21　A22]

diag(λ1 λ2 … λN) = Λ
とでもする。

　[A11　A12　；　A21　A22][x, y]^t = [Λ　0　；　0　Λ][x, y]^t
　[(A11 - Λ)　A12　；　A21　(A22 - Λ)][x, y]^t = [0, 0]^t

として OK ?

補足

引き続き内容確認のご質問、ありがとうございます。
ご呈示のように書き換えていただいて問題ありません。
よろしくお願いします。

diag( ) という記号も今回、初めて知りました。
勉強になりました。ありがとうございます。

回答No.1

178-tall

行列たちのサイズが不可解ですけど、
　Aa = diag(λ1 λ2 … λN)*a
として、
　{λ1 λ2 … λN ; a}
を一網打尽にする、という問題なのですか？

補足

うまく質問を書けて無くてすみません。ご質問、ありがとうございます。

等式の右辺は、　diag(λ1 λ1 λ2 λ2 … λN λN)*a という形です。

もう少し詳しく書くと、 a(i) = (x_i, y_i)　としたとき、 a は

　a = ( x_1, y_1, x_2, y_2, ..., x_N, y_N )^t ( ^t は転置の意味）

という 2N 次元列ベクトルです。

λi が全て等しいならば、通常の固有値問題なので、
ご覧のタイトルを付けました。

引き続きよろしくお願いします。。。