畳み込み積分定理の証明について

質問

２つの関数g(x)、w(x)のフーリエ変換をそれぞれG(f)、W(f)とする時、次の関係の証明をせよ
∫[-∞,∞]G(f)・W(f)exp(i2πfx)df=∫[-∞,∞]g(τ)w(x-τ)dτ

この証明が課題として出されたのですがどのように証明すればいいのか全然わかりません……
どなたか証明できる方がいましたら回答お願いします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

G(f),W(f)の部分にフーリエ変換の定義式をそのままはめ込みます。
その際、積分の変数はそれぞれ別にしておかないといけません。

すると与式の左辺が3重積分の形になります。
こうすると、fはg().w()には含まれず、exp()の部分のみに現れるようになります。
この3重積分をfの積分から行います。
すると、そこからδ関数があらわれて．．．

まずは、補足にフーリエ変換の定義式を当てはめた与式の左辺を書いてみてください。

お礼

回答ありがとうございます
まずその手順で証明を進めてみたいと思います

補足

∫(∫g(x)exp(-i2πfx)dx・∫w(x)exp(-i2πfx)dx exp(i2πfx))df
このようになりました
fの積分から行うというのはexp(i2πfx)dfから行うということでいいのでしょうか……？

回答No.4

rnakamra

#1の補足について

>∫(∫g(x)exp(-i2πfx)dx・∫w(x)exp(-i2πfx)dx exp(i2πfx))df
G(f)とW(f)の式はxとは別にしないといけません。g()についてはy,w()についてはzとしてください。

>fの積分から行うというのはexp(i2πfx)dfから行うということでいいのでしょうか……？
上記の式で、fが3箇所含まれています。そこだけを積分してみてください。

お礼

ありがとうございます
その手順で進めてみます

回答No.3

info22

#2です。
ヒント)
[もう少しやりやすい証明のやり方]
F{g*w}=G(f)W(f)を示せばいいでしょう。
F{g*w}=∫[-∞,∞]{∫[-∞,∞]g(τ)w(x-τ)dτ}exp(-2πfx)dx
この積分で積分の順序を入れ替えた後(dxで積分後、dτで積分する事)、
x-τ=tと置換して積分を定義に基づきW(f)そしてG(f)の順に置き換えていけば
=G(f)W(f)
にたどりつけるでしょう。
後はやってみて下さい。

お礼

ありがとうございます
この方法での証明も試してみようと思います

回答No.2

info22

課題の丸投げに丸解答を求めたり、丸解答することは授業妨害（著者権違反の恐れ）などになりマナー違反に該当します。
サイトの掲示よれば------当サイトでは課題やレポートなどを質問として投稿する事自体は禁止しておりませんが、基本的なマナーとして、ご自身である程度問題解決に取り組まれた上での疑問点や問題点、お困りの点を明確にしてご投稿いただきたい... ---------とあります。
授業が終われば先生方、解答や解説があるはずです。全く分からなければ諦めるしかないです。

ある程度、分かるなら、自分でやった途中までの自身の自力解答の詳細を補足に書いた上で、行き詰っている箇所について質問するようにして下さい。

ヒント）
フーリエ変換の定義式を使って、左辺から右辺を導くか、右辺から左辺を導くか、どちらかで証明できるはずです。どちらの方法を使っても良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
マナーについては以後気をつけるようにします
ヒントを元にもう一度挑戦してみます