フーリエ変換

質問

「高校数学で分かるフーリエ変換」という本（ブルーバックス）内の記述に関する質問です。
当方は初学者ですので，とんちんかんな質問があると思いますが，よろしくお願いします。

質問の前提となる記述は次のとおりです。

　ある振動数ｆの電界の波がE（ｆ）のサイン波なので，Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）
　このサイン波を全振動数に関して足すと（積分すると）時間軸上の電界パルスＥ（ｆ）ができる。

　Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ
　　　　＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ

　最終的に，Ｅ（ｔ）とＥ（ｆ）の関係がフーリエ変換になっている。

質問です。
１　本を読む限り，「ある関数ｆ（ｔ）をフーリエ変換する場合，ｅｘｐ（－ｉωｔ）をかけて，時間で積分する。」と理解できるのですが，上記の式は，ｅｘｐ（－ｉωｔ）をかけて，時間で積分した形跡がないのにどうしてフーリエ変換したことになるのでしょうか。

２　振動数の関数を時間の関数にするために，Ｆ（ｔ）＝∫ｇ（ｆ）ｅｘｐ（ｉωｔ）ｄｆをフーリエ逆変換との記述を見たことがありますが，正しいでしょうか。正しいとするなら，１はフーリエ逆変換なのでしょうか。
（式の前に１／２πなどが付くことがありますが，省略しています。）

３　Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ
　　　　＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ

　ｓｉｎ（－ωｔ）ｄｆ＝Ｉｍ[－ωｔ]　この意味が分かりません。Imは複素数の虚部を表しているとは思うのですが・・・。

　以上，要領を得ない質問ですがよろしくお願いいたします。

回答No.6

hitokotonusi · ベストアンサー

補足をもう一度読み直してみました。どうも、質問者さんが誤読しているようです。
ここで書いているのは、おそらくはこんな文脈です。

１．まず、

＞Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）

というサイン波を考える。

２．これを全てのｆについて足し合わせる＝積分する(フーリエ変換ではなくただの積分)

＞Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ

書かれているのは、

＞このサイン波を全振動数に関して足すと（積分すると）

で、フーリエ変換するとは書いてありませんよ。

※　この手続きは、ωが整数で指定される場合、フーリエ級数展開の考え方そのものですから、まずはフーリエ級数展開をかんがえると、この手順が腑に落ちるようになるのではないかと思います。

３．この積分の形を見ると、ｓｉｎ（－ωｔ）がexp(-iωt)の虚部なので、ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）という関数のフーリエ変換

∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）×ｅｘｐ（－ｉωｔ）ｄｆ

の虚部に等しい。

お礼

しばらくそのままにしていたのですが，そろそろ締切とさせていただきます。
一部の疑問がそのままになってしまいましたが，またゆっくり考えたいと思います。

　私の要領を得ない質問に何度も御回答いただいた皆様本当にありがとうございました。

補足

何度も回答ありがとうございました。
御指摘のとおり，該当の本に「フーリエ変換する」とは書いてありません。

Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）をｄｆで積分すると書いてあるだけです。

※　フーリエ級数展開の考えそのものという点も理解できました。

　その上で，まだ分かっていない点があるのですが，

ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）という関数のフーリエ変換

∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）×ｅｘｐ（－ｉωｔ）ｄｆ　の虚部に等しい。

　という点に関して再度教えていただけないでしょうか。

　該当本は，
Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）
Ｅ（ｔ）＝（√（π／ａ’）ｅｘｐ（－（π＾２・ｔ＾２）／ａ’）　×　ｓｉｎ（－ω0ｔ）

　「数学的にはこの関係がフーリエ変換になっている。」と結んでいます。

Ｅ（ｆ）とＥ（ｔ）は関数の形を見る限りにおいては，互いにフーリエ変換と逆変換の関係になっていそうだということは理解できます。

ただ，回答者様が書いてあるとおり，「積分の形が，ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）という関数のフーリエ変換の虚部に等しい。」だけです。

そこで質問なのですが，

　実部はどこに行ったのでしょうか。（実部もあるなら，積分の形を見比べて，互いにフーリエ変換の関係という記述も納得できる気がするのですが・・・）

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>ある振動数ｆの電界の波がE（ｆ）のサイン波なので，Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　>ｓｉｎ（－ωｔ）
>　このサイン波を全振動数に関して足すと（積分すると）時間軸上の電界パルスＥ（ｆ）ができる。

>　Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ
>　　　　＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２　×　Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ

なんかへん。括弧の位置も変だし、なんで sin 側だけ？？？
説明の途中の断片をさらに写し間違った感じです。

　E(t)＝∫e^(-a(f-f0)^2)・exp(i・2πft) df

のはず。で、これはフーリエ逆変換で、フーリエ変換では有りません。

補足

括弧の位置がおかしかったです。
Ｅ（ｔ）＝∫（（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）　×　ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ
　　　　＝∫（（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２）　×　Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ

回答No.4

hitokotonusi

1.は2.で解決してると思うので，3.だけ。

e^(-iθ) = cos(-θ) + i sin(-θ)

補足

３については明解な説明ありがとうございました。ｃｏｓが偶関数　ｓｉｎが奇関数であることに着目できていませんでした。
それで，理解が悪くて申し訳ないのですが，１は２で解決しているという意味がよく分かりません。もしよろしければ補足いただけると助かります。

回答No.3

hitokotonusi

1. フーリエ変換は元々三角関数による変換です。フーリエ変換の基礎となるフーリエ級数展開はある周期関数を三角関数で展開することを言います。指数関数にするのは取り扱いの利便性による書き換えです。

フーリエ級数　三角関数による展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%B1%95%E9%96%8B

2. こだわれば逆変換です。が，しばしばフーリエ変換と逆変換をまとめてフーリエ変換といってしまうこともあります。本質的に差はないので。
特にここでは

＞最終的に，Ｅ（ｔ）とＥ（ｆ）の関係がフーリエ変換になっている。

なので，これをきちんと書けば「E(t)とE(f)はフーリエ変換とフーリエ逆変換でたがいに変換可能な関係になっている」という感じですね。

3. 質問文に書かれているとおりです。

オイラーの公式というのがありまして，

e^(iθ) = cosθ + i sinθ

という関係が恒等的に成り立ち，sinθはe^(iθ)の虚部です。

オイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

世界で一番美しい公式とも言われていますので，ぜひ覚えましょう。

補足

早速の御回答ありがとうございました。ただ，まだ分からない点があります。
１について
方法論的な理解で本質を理解していないのかもしれませんが，
ある関数ｆ（ｔ）にｅｘｐ（－iωt）をかけて時間で積分すると理解しています。もちろん，オイラーの公式から　ｅｘｐ（－iωt）＝ｃｏｓ（ωt)－ｉｓｉｎ（ωｔ）ですから，指数関数をかけ算しているのは取扱の都合であることも承知しております。

私の疑問は
　Ｅ（ｔ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ０）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）という関数のフーリエ変換なのですから，フーリエ（逆）変換するなら，

Ｅ（ｔ）＝∫[－∞　∞]ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ０）＾２　×　ｓｉｎ（－ωｔ）×ｅｘｐ（－ωｔ）ｄω
としなければならないのではないかと考えたのです。

２について
　非常によく分かりました。「フーリエ変換と逆変換で互いに変換可能」という表現がぴったりですね。

３について
ｅｘｐ（－iωt）＝ｃｏｓ（ωt)－ｉｓｉｎ（ωｔ）の虚部の部分します。
Ｉｍ[ｅｘｐ（－iωt）]＝－ｓｉｎ（ωｔ）なら理解できます。

ただ，私が読んでいる本には，
Ｉｍ[ｅｘｐ（－iωt）]＝ｓｉｎ（－ωｔ）とあります。ｓｉｎ（マイナスωｔ）このマイナスがどこに行ってしまったのでしょうか。

　説明が悪くて申し訳ないのですが，再び御回答いただけると助かります。

回答No.2

foomufoomu

3番目の答えを書き忘れました。
オイラーの公式
Exp(ix)=cos(x) + i sin(x)
より導かれます。

回答No.1

foomufoomu

フーリエ変換は、最終的には簡単な式になります。その理由は　Exp(ix)　関数は、微分しても、積分しても Exp(ix) のままだからです。
同じ理由から、フーリエ変換と逆フーリエ変換は、同じ形をしています。