【フーリエ展開】発散しない理由

質問

関数f(t)のフーリエ変換をF(t)とします。
g(t)=df(t)/dt のとき
g(t)のフーリエ変換G(t)をF(t)で表せ、との問題です。
G(t)=∫[-∞,∞] df(t)/dt exp(-iwt) dt
の積分を行って計算しようとしました。

そこで、[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]+iw∫[-∞,∞] df(t)/dt exp(-iwt) dt
となり、[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0より
G(t)=iwF(w)と答えを出したいのですが、

[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0となることが理解できずに
困っています。この値は発散しませんでしょうか？

数学に詳しい方が居られましたら
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.3

panasoniki · ベストアンサー

私もあまり自信を持ってわからないのですが、
そもそもフーリエ変換や逆変換が出来る条件に
∫[-∞,∞] |f(t）| dt < ∞　
などの細かい条件があるようです。

∫[-∞,∞] |f(t）| dt < ∞　が成り立つためには、
-∞や∞でf(t)→0が必要なので、
[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0となるのではないかと思います。

お礼

>そもそもフーリエ変換や逆変換が出来る条件に
>∫[-∞,∞] |f(t）| dt < ∞　
>などの細かい条件があるようです。

ありがとうございました！参考にさせてもらいます^^

回答No.2

Tacosan

「ふつうの関数」なら「f(t) のフーリエ変換」が存在する条件を考えるのかなぁ.

回答No.1

panasoniki

フーリエ逆変換を用いると良いと思われます。

すなわち、
f（t）＝∫[-∞,∞] F(w) exp(iwt) dw
ですが、
両辺をtで微分すると
df(t)/dt ＝ ∫[-∞,∞] iwF(w) exp(iwt) dw

G(t)の逆変換を考えると
df(t)/dt ＝∫[-∞,∞] G(w) exp(iwt) dw

以上から
wF(w)＝G(w)　です。

補足

回答頂き、ありがとうございます！

すごくきれいな解答です
逆変換を用いると、確かにpanasonikiの
仰るとおり、よく分かりました。

ということは、
[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0
と無理やりしているよな解答はやはり
間違いです...よね?

お手数をお掛けしますが、返信頂けると
助かります。よろしくお願い致します。