数学の解析学の質問です

質問

数学のフーリエ解析についての質問です。

関数f（t）のフーリエ変換をF（ω）＝∫[-∞→∞]f（t）exp（-iωt）dtと定義する。

関数F（ω）のフーリエ逆変換をf（t）とするとき、次の2つの関数のフーリエ逆変換を求めよ。

（1）F（2ω）
（2）F（ω-1）

解答、解説がなく困っているので、どなたか分かる方がいらっしゃれば教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

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回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

0)F(ω) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-iωt) dt

1)F(2ω) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-2iωt) dt
2)t --> u/2
2.1)F(2ω) = ∫[-∞,∞] f(u/2) e^(-iωu) du/2
3)F(2ω) =1/2 ∫[-∞,∞] f(u/2) e^(-iωu) du
4)F(2ω) --> 1/2 f(t/2)

10)F(ω-1) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-i(ω-1)t) dt
11)F(ω-1) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(it) e^(-iωt) dt
12)F(ω-1) --> e^(it) f(t)

20)実生活での虚数
https://jp.quora.com/jisseikatsu-de-kyosuu-ga-shi-wareru-jirei-ni-ha-donna-mono-ga-arima-suka/answers/392553881

お礼

ありがとうございます😊

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

フーリエ変換とフーリエ逆変換に関する問題ですね。まずは少し基礎的な説明をさせていただきます。

フーリエ変換は、時間領域の関数を周波数領域に変換する手法です。フーリエ逆変換はその逆の手法で、周波数領域の関数を時間領域に変換するものです。

問題の式において、関数f(t)のフーリエ変換はF(ω)で表されます。ここで、ωは周波数を表すパラメータです。

そこで、問題で求められているのは、F(2ω)とF(ω-1)の逆変換です。

(1) F(2ω)の逆変換を求める場合、フーリエ逆変換の性質を利用します。具体的には、時間領域の関数を周波数領域で2倍すると、時間の変数が1/2倍されることになります。

つまり、F(2ω)の逆変換は、f(t/2)となります。

(2) F(ω-1)の逆変換を求める場合、同様にフーリエ逆変換の性質を利用します。周波数領域の関数において、時間の変数を1だけ進めると、周波数の変数が逆に1だけ進むことになります。

つまり、F(ω-1)の逆変換は、f(t+1)となります。

以上が解答です。

まとめると、
(1) F(2ω)の逆変換は、f(t/2)
(2) F(ω-1)の逆変換は、f(t+1)

となります。

フーリエ変換とフーリエ逆変換は、数学や工学、物理学などで広く使われる重要な概念です。理論的な背景や計算方法については、専門的な知識が必要となりますので、より詳しい解説や解答が必要な場合は、専門的な教材や参考書をご活用いただくことをおすすめします。

以上、数学のフーリエ解析に関する問題の回答でした。もし分かりにくい点や他に質問があれば、お気軽にお聞きください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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https://staffblog.okwave.jp/2023/06/07/10415/

お礼

AIさんありがとうございます！