たたみこみ積分のフーリエ変換

質問

またまた質問します・・
↓の式の両辺のフーリエ変換の解説で意味がわからないところがありました。
f(x)＝e^(-|x|) + a∫[x～∞]e^(x-y)f(y)dy

この式の両辺をフーリエ変換するわけですが、
教科書の解説では、
g(x)≡e^x (x≦0) , g(x)≡0 (x>0)といきなり定義すると書いてあります。
すると変換後の式は、たたみこみ積分の考え方も導入して
F(ω)＝√{2/π}/(1+ω^2) + F(ω)a/(1-iω)となるようです。
まぁ√{2/π}/(1+ω^2)は、e^(-|x|) のフーリエ変換なのはわかります。
F(ω)/(1-iω)の部分も、g(x)のフーリエ変換にf(x)のフーリエ変換F(ω)と√2をかけただけなのでしょう。つまり、f*g＝√2F(ω)G(ω)

わからないのは・・
g(x)≡e^x (x≦0) , g(x)≡0と定義するに至る考え方。

たたみこみ積分は、積分範囲が０から始まっているのに対して、問の積分部分はxから始まることに起因してｇ(x)をそのように定義するのかな？？っていうのはなんとなく分かりますが、、その間の具体的な道筋が思いつきません！！わかりやすく教えていただきたいです。よろしくお願いします！！

ちなみにフーリ変換は、1/√2π∫[-∞～∞]f(x)e^(-jωx)dx
畳み込みはf*g＝√2F(ω)G(ω)という定義でお願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

積分範囲を広げているだけのようですが。

∫[-∞～∞]g(x-y)f(y)dy = ∫[-∞～x]g(x-y)f(y)dy +∫[x～∞]g^(x-y)f(y)dy

右辺第1項は積分範囲からx>y、つまりx-y>0なのでg(x-y)=0となるので積分も0。
右辺第2項は積分範囲からx<y、つまりx-y<0なのでg(x-y)=e^(x-y)となるので、この積分は問題文のf(x)の第二項からaをのぞいたものに等しい。

したがって、g(x)をg(x)≡e^x (x≦0) , g(x)≡0 (x>0)と定義しておけば

∫[x～∞]e^(x-y)f(y)dy = ∫[-∞～∞]g(x-y)f(y)dy = g*f(x)

とたたみ込みの形に書いてやることができ、
そのフーリエ変換にはたたみ込みのフーリエ変換の公式がそのまま使えるようになる。

お礼

理解しました。感謝します。