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【Parsevalの等式】を用いた積分
Parsevalの等式を用いて ∫[-∞,∞] (sinw/w)^2 dw の積分を求めよ、 との問題なのですが、どのように解けば良いでしょうか... f(t)=-exp(-|t|)のフーリエ変換F(w)を求め、 F(w)=2/(1+w^2)を得て、それをもとに ∫[-∞,∞]1/(1+w^2)^2 dw をParsevalの等式を用いて計算する問題を 参考にして自分なりに解こうとしたのですが、 F(w)=sinw/w となるような関数f(t)をフーリエ逆変換で 求めることができず、困っています... そもそも 「F(w)=sinw/w となるような関数f(t)をフーリエ逆変換で求める」 方針が大きく間違っているのでしょうか... 数学のできる方、ご指摘やアドバイス等 よろしくお願い致します。
- geamantannn
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補足
Tacosanさん、回答ありがとうございます！ えー... sinc関数ですか、ちょっと扱ったことが ないのですが、Parsevalの等式で どうにかこの問題を解けないでしょうか... f(t)=exp(-|t|)のフーリエ変換F(w)を求めよ との誘導で、 F(w)=2/(1+w^2)を求めました。 これより 1/(1+w^2)=F(w)/2 ∴∫[-∞,∞]1/(1+w^2)^2 dw =∫[-∞,∞]{F(w)/2}^2 dw =1/4*∫[-∞,∞]|F(w)|^2 dw =1/4*2π∫[-∞,∞]|f(t)|^2 dt(∵Parsevalの等式) =π/2*∫[-∞,∞]exp(-2|t|)dt =π/2...(答) のような方針で解きたいのです... なかなかうまくいかないのですが、 sinc関数をどのように用いれば良いでしょうか。