フーリエ変換（積分）の問題です

質問

こんにちは。
フーリエ変換による積分の問題が分からず困っています。

変数tについての関数とそのフーリエ変換が以下の関係式で成り立っているとする。
F(ω)=∫[-∞ ∞] f(t)e^(-jωt) dt
f(t)=1/2π ∫[-∞ ∞] F(ω)e^(jωt) dω

このとき、次の関数g(t)のフーリエ変換G(ω)を、F(ω)を用いて表せ。
（1）g(t)=f(t)cos(ω_0*t)
（2）g(t)=df(t)/dt

教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

取り敢えず(1)について
（1）g(t)=f(t)cos(ω_0*t)
＞G(ω)=∫[-∞ ∞]g(t)e^(-jωt) dt
=∫[-∞ ∞]f(t)cos(ω_0*t)e^(-jωt) dt
=∫[-∞ ∞]f(t)[{e^(jω_0*t)+e^(-jω_0*t)}/2]e^(-jωt) dt
=(1/2)∫[-∞ ∞]f(t){e^(jω_0*t)}e^(-jωt) dt
+(1/2)∫[-∞ ∞]f(t){e^(-jω_0*t)}e^(-jωt) dt
=(1/2)∫[-∞ ∞]f(t)e^{-j(-ω_0+ω)t}dt
+(1/2)∫[-∞ ∞]f(t)e^{-j(ω_0+ω)t}dt
=(1/2)F(ω-ω_0)+(1/2)F(ω+ω_0)・・・答

お礼

回答ありがとうございます。
質問を投稿した後、三角関数の複素数表現を利用すればいい　ということに気づいて、自力で解くことが出来ました。
途中式など細かい説明もつけてくださり、ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

(2) は部分積分で終わりだしなぁ....