フーリエ変換の問題。助けてください！！

質問

フーリエ変換の問題です。

関数f(x)のフーリエ変換F(ω)および逆変換を次のように定義する。

F(ω)=∫[∞→-∞]f(x)e^(-iωx)dx
f(x)=(1/2π)∫[∞→-∞]F(ω)e^iωx dω

関数f(x)=e^(-ax^2)のフーリエ変換はF(ω)=(√π/a)e^(-ω^2/(4a)) で与えられる。以下の問いに答えよ。

(1)∫[∞→-∞]e^((-x^2)/2)dx を求めよ。
(2)関数g(x)が次の方程式を満足する。

∫[∞→-∞]∫[∞→-∞]g(x-y)g(y-z)g(z)dydz=(2π/√3)e^((-x^2)/6)

g(x)を求めよ。

（1）はすぐに√2πであるとわかりました。(2)は朝からずっと考えていろいろと試行錯誤してみたのですが、まったく解けません。

どなたか、教えていただけませんか？私も引き続き考えますのでどうかわかる方、よろしくお願い致します。

回答No.3

rnakamra

∫[∞→-∞]∫[∞→-∞]g(x-y)g(y-z)g(z)dydz=(2π/√3)e^((-x^2)/6)

この式の両辺をxに対してフーリエ変換してみましょう。
右辺は簡単に出てきます。
左辺は
∫[∞→-∞]∫[∞→-∞]∫[∞→-∞]g(x-y)g(y-z)g(z)e^(-iωx)dxdydz
ですね。
これをg(x)をフーリエ変換したG(ω)で表せないでしょうか。
(ヒント)e^(-iωx)=e^{-iω(x-y)}*e^(-iωy)
yを定数とみなせばdx=d(x-y)ですから．．．
後はg(y-z)についても同じように計算して、最後にあまったものをみてみると．．．

回答No.2

Tacosan

ん, 合成積を考えればいいだけのはず. どこで詰まってるのかはしらんが.

補足

合成積をやったところで、

g(x)*g(x)=(2π/√3)e^((-x^2)/6)

となるだけで、結局なんの解決にもならない気がするのですが…。

回答No.1

Tacosan

この問題が, なぜ「フーリエ変換」のところで出てくるのかを考えればいいんじゃないかなぁ....

補足

合成積などいろいろと8時間ほど試行錯誤してみましたが、どうしても答えにたどりつけないんです(>_<)