∫√(x*x+a) dx の解法

質問

∫√(x*x+a)dx
の求め方を教えてください。
置換積分でしょうか？
教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

√(x^2+a)=t-xと置換することで積分できます。
　　√(x^2+a) = t-x
両辺2乗すること、
　　x^2+a = t^2-2tx+x^2
x^2が打ち消し合い、さらにxについて解くと
　　x = (t^2-a)/(2t)　―― (☆)

両辺をtについて微分して、
　　dx/dt = (t^2-a)/(2t^2)

また元の式に(☆)を代入することで
　　√(x^2+a) = t-x = t-(t^2-a)/(2t) = (t^2+a)/(2t)

これで準備は完了、あとはそれぞれ当てはめれば簡単に積分できます。
その後tをxに戻すのは少々面倒ですが。

お礼

ご回答ありがとうございました。
計算は少々面倒くさかったものの、
無事解くことができました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

計算はしていませんが、置換積分が妥当であるはずです。

ｘ　＝　√ａ・tanｔ
と置けば、式が簡単になります。

そして、微分公式
（tanθ）’＝　１／（cosθ）^2
を使えば、
ｄｘ　＝　（√ａ）／（cosｔ）^2 ｄｔ
です。

以上、ご参考に。

お礼

ご回答ありがとうございました。
一見簡単そうになったのですが、
1/(cost)^3　の積分が出てきたので、
sint=u とおくことでもう一度、置換して、
その後、部分分数分解をしゴリゴリ計算したら解けました。

ありがとうございました。