∮[-1→1]√(4-x^2)dxでx=2sin(

質問

∮[-1→1]√(4-x^2)dxでx=2sin(t)に置換した後のtの積分区間が分からないので教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

-π/6≦t≦π/6
です

x=2sin(t)
-1≦x≦1
-1≦2sin(t)≦1
各辺を2で割ると
-1/2≦sin(t)≦1/2
-π/6≦t≦π/6

dx=2cos(t)dt
√(4-x^2)=2cos(t)
だから
∫[-1→1]√(4-x^2)dx
=2∫[-π/6→π/6][2{cos(t)}^2]dt
=2∫[-π/6→π/6]{1+cos(2t)}dt
=2[t+sin(2t)/2]_[-π/6→π/6]
=2{π/3+sin(π/3)}
=(2π/3)+√3