∫1/{ 2+cos(x) }dxについて

質問

∫1/{ 2+cos(x) }dxについて
cos(x) = aとおいて、置換積分を試みたのですが、どうも上手くいきません。もし宜しければ、アドバイスの程お願い致します。

回答No.1

quadlike · ベストアンサー

三角関数の積分はt＝tan(x/2)と置換するとうまくいくことが多いです．

t＝tan(x/2)と置換すると，
　dx＝2cos^2(x/2)＝2/(1+t^2)
　cos(x)＝(1-t^2)/(1+t^2)
　∫1/(2+cos(x))dx＝∫2/(3+t^2)dt
次に，t＝(√3)tan(u)と置換すると，
　dt＝((√3)du/cos^2(u)
　∫2/(3+t^2)dt＝∫(2/√3)du＝(2/√3)u＋C
以上より
　∫1/(2+cos(x))dx＝(2/√3)arctan(tan(x/2)/√3)＋C

お礼

何とか理解することができました。ありがとうございました。