群環体以外の概念はあるのでしょうか？

質問

門外漢ですが、質問させてください。

数学で出てくる概念のうち、
群環体に属しないそれ以外の概念はあるのでしょうか？

もしあれば例を挙げて頂けないでしょうか？

例えば、集合や位相といった概念は群環体のどれに属するのでしょうか？

回答No.1

33550336 · ベストアンサー

質問の意味がよくわからないので見当違いの回答になるかもしれませんが…
というかそもそもなぜ群、環、体が代表的な「概念」としてあがったのでしょうか…？

集合が群、環、体になるためにはある種の演算が定義される必要があります。
逆に演算さえ定義すればどんな集合でも群、環、体にすることができます。

例えば｛あ、い｝という集合に
あ＋あ＝あ
あ＋い＝い＋あ＝い
い＋い＝あ
と、加法を定義すればこの集合は加法群になります。
単位元は「あ」で、「あ」の逆元は「あ」、「い」の逆元は「い」です。
また
あ×あ＝あ
あ×い＝い×あ＝あ
い×い＝い
と積を定義すればこの集合は可換環になります。
さらに和の単位元以外の全ての元（この場合は「い」）が単元になるので
これは体です。

まあ厳密には和や積の演算に対しては細かい制約があるのでそれを確かめる必要がありますが…

位相空間の概念はこのような演算とは関係ありません。
集合に位相という、ある種の条件をみたす部分集合族を定めれば位相空間になります。
これも上と同様、どのような集合に対しても、位相さえ定めれば位相空間にできます。
なのでどれに属するとかそういうものではありません。
そういう意味では群、環、体以外の概念と言えるかもしれませんね。

貴方がおっしゃっている「概念」という言葉や、「属さない」という言葉の厳密な定義がよくわからないのでこれ以上回答できませんが、少なくとも群、環、体だけの言葉で現代数学の全てが記述できるとは私は思っていません。

回答No.2

grothendieck

群環体以外の代数系として束(lattice)と呼ばれるものがあり、量子論理などで使われます。この他、群と環を合わせた概念ではありますが、重要なものに加群とか代数などがあります。これらの定義は岩波の数学辞典などをご覧ください。