群について質問があります

質問

二つの実数１とー１からなる集合｛１、ー１｝はなんで、乗法に関して群をなすのでしょうか。
（Z*、×）が群にならないのは理由はなんでしょうか。

群の定義から、考えても具合例が思いつきません。

具体例をつけて教えて頂きませんか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「なんで、乗法に関して群をなすのでしょうか」って言われてもねぇ.... 「『乗法』がそう定義されているから」, くらい?

あと確認だけど, 後者の Z* って何? ねんのため「具合例」なる単語の意味も.

お礼

ありがとうございます。

補足

具体例でした。

z＊は、zに０が含まれないものです。

言葉不足で、申し訳ないです。

回答No.4

mazoo

Z*で逆元を持たないのは、1,-1以外の全ての元です。
通常の積を考えるとき、2の逆元はZ*には含まれません。
少し世界を広げて、有理数全体の集合から0を除いた集合Q*は
通常の積に関して群になります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

mojarin8

（Z*、×）が群にならない理由を考えてみます。

群の条件に、逆元が存在する。というのがあります。

しかし、この空間には０という元が存在します。

乗法に関して、０には逆元が存在しません。（０×□＝１、となる□はありません）

それで群にはならないことになります。

補足
０×∞＝１、となる∞という元を追加したとします。
すると（＊、ｘＵ∞）は群になるということになりますね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

mojarin8

群の定義を思い出してください。
１　計算しても集合から出てしまわない。
２　（ｘｙ）ｚ＝ｘ（ｙｚ）
３　単位元がある。（なににかけても変らない）
４　逆元がある。（かけると単位元になるもの）

これを満たすか考えてみます。

１　１×１＝１、１×（－１）＝－１、（－１）×１＝－１、（－１）×（－１）＝１
　　全ての計算でも｛１、－１｝から出ていません。

２　（１×（－１））×１＝１×（（－１）×１）など、１、－１を使った計算では
　　この条件も満たすことは明らかだと思います。

３　１は単位元です。（１にかけても、（－１）にかけても変りません）

４　１の逆元は１。（－１）の逆元は（－１）です。

以上の条件をみたすので、これは群をなすと考えられます。

お礼

ありがとうございます。