実数体について

質問

体とは，

（1）加法に関してアーベル群
（2）乗法に関してアーベル群
（3）分配法則が成り立つ

これらの条件を満たさなければならないはずですが，実数全体の集合は満たしているのでしょうか？
（1）や（3）は当然満たしていることはわかります．しかし（2）はどうでしょうか？

実数は乗法においてそもそも”群”ではないので，もちろんアーベル群にもなりえないはずです．
しかし色々調べてみても，「実数全体の集合は体になる」とあります．
これはなぜなのでしょうか？

そもそも自分のアーベル群の理解が違っているのでしょうか？
群のうち，可換なものがアーベル群ですよね？
だとしたら，群となっていることは最低条件のはずです．
実数はそれを満たしていません．
なのになぜ体になるのですか？

よく分からないので教えてください．

回答No.3

alice_38 · ベストアンサー

体の加法単位元は、「零元」といって、
けっして乗法逆元を持つことがありません。
(1) と (3) から、零元に何を掛けても
積は零元になることが示せます。
だから、(2) は変ですね。
やはり、定義の確認が必要だと思います。

回答No.2

Tacosan

実数が乗法に関してアーベル群でないというのは, どうしてそう結論付けたのですか?

回答No.1

nag0720

体の定義をもう一度見直してみたら？

（2）乗法に関してアーベル群
は体の定義ではないはずです。