直線と曲線って別概念ですか？

質問

こんばんは

数学的に曲線というのは、縦と横の微小な直線の集合体という概念でよろしいでしょうか？

回答No.1

stomachman

お説によれば、「横方向のまっすぐな線分はうんと微小な横線だけが連なってできている。ナナメ45度方向のまっすぐな線分は、うんと微小な縦線と横線が交互に連なってできているギザギザである」ということでしょうかね。だとすれば、後者を45度回転して横にしてやったとすると、これは微小な横線だけで出来ている横方向の線分とは異なる、なんかギザギザのもの。
　これじゃ、いろいろ不都合がありそうです。なので普通、数学では（「曲線」という言葉に、普通でない特別な定義を与えるのでないかぎり）そのようには考えません。

（しかしながら、「数学的」ではなく「物理学的」な観点では、仰るような性質を現実の空間が持っているかもしれない、というアイデアは古くからあります。もしそうだとすれば、空間には「縦」や「横」のような特別な方向というものがある筈で、つまり方向によって微妙に物理法則が異なるに違いない。そういう仮説に基づいて様々な実験が行われています。が、確かな結果は何も見つかっていません。）

　歴史的には、ユークリッドの（厳密な定義にはなっていない）定義において、直線と曲線は別物として区別されています。しかし、今の数学では、曲線にはその一種として直線も含まれると考えるのが通例です。
　数学における曲線の定義ってのは、実はすんごく難しいんです。（話がようやくまとまったのは20世紀に入ってから。）なので、下準備の勉強を相当積み上げた上でないと始まらない。
　でもま、「普通」に出て来る曲線であれば、大抵、最も素朴な「Jordan曲線」の概念で扱えます。すなわち、0≦t≦1である実数の集合Tから実数全体Rへの連続関数f, gによって決まる2次元ユークリッド空間(x,y)上の部分集合
　　J = {(x,y) | ∃t(t∈T, x = f(t), y= g(t))}
を曲線と考える、ってことです。これを理解するにも「連続関数って何だ？」を勉強しとく必要があるんですが。