群環の一般的な定義とは?

質問

(R,+,・)を可換環(単位的環とは限らない),(G,*)を半群(一般的に群ではなく半群とする)とすると,GにはR左加群が定義できる。

次に,時,A≠φを集合とし単射f:G→Aに於いて,
☆:f(A)×f(A)→f(A)をf(x)☆f(y):=f(x*y)と定義し,
∀r,s,t∈R,∀f(x),f(y),f(z)∈f(G)に対して,
(s・f(x))☆f(y)=s・(f(x)☆f(y))=f(x)☆(s・f(y))と定義する。
この時,(A,☆)はR上の多元環になる。

この時の(A,☆)をGのR上の群環と呼び,R[G]と書く。
と解釈したのですが某書に「R[G]は厳密にはGからRへの写像全体として定義される」
と載っていたのですがこれはどういう事でしょうか?

R[G]の定義はR[G]:={f;Aは集合,f:G→Aは単射,多元環を満たす写像☆が存在する}とも解釈してみたのですが。。。

回答No.2

muturajcp

(R,+,*)を単位元をもつ可換環,(G,*)を群とする
A={g:G→R|写像全体}=R^G,0≠1∈R
+:A×A→A,(h+g)(x)=h(x)+g(x)
*:R×A→A,(r*g)(x)=r*g(x)
とするとAはR加群となる
x∈G　に対して
u(x):G→R,(u(x)(x)=1∈R)&(x≠z∈G→u(x)(z)=0∈R))　とすると
u(x)∈A=R^G
{x,y}∈G,u(x)=u(y)→ 1=u(x)(x)=u(y)(x)→ x=y
だから　u:G→A　は単射となる。
g∈A→g=?_{x∈G}g(x)u(x)　となる
u(G)×u(G)⊂A×A　で
☆:u(G)×u(G)→u(G) をu(x)☆u(y):=u(x*y) と定義し,
∀r,s,t∈R,∀u(x),u(y),u(z)∈f(G)に対して,
(s・u(x))☆u(y)=s・(u(x)☆u(y))=u(x)☆(s・u(y))と定義する
☆:A×A→A , (g☆h)(z)=?_{xy=z}g(x)h(y) と定義を拡張できる
この時(A,☆)はR上の多元環になる.
この時(A,☆)をGのR上の群環と呼びR[G]と書く.

☆:f(A)×f(A)→f(A) は誤りで
☆:f(G)×f(G)→f(G) が正しいです。(上ではfではなくuとしています)

回答No.1

Tacosan

えぇと, じっと見てみると「(A,☆)はR上の多元環になる。」のあたりの定義が混乱しているように感じられます. 例えば
f: G→A と書いていますが, この A は「R でも G でもない一般の集合」でいいのですか? そして, そう解釈するとそのあとの
「☆:f(A)×f(A)→f(A)」
が無意味 (A は G とは異なるので f(A) が定義されていない) です.
wikipedia の「群環」の項目は参考になる?