代数学「置換」について

質問

「任意の置換は互換の積に分解される」
ということの証明がわかりません。

巡回置換が互換の積で表せるということはわかったので、あとは任意の置換が巡回置換の積表せればいいのですが、そこがわかりません。

わかりやすい証明をお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞任意の置換が巡回置換の積表せればいいのですが
とりあえず、例えば、なんかの元i1 から初めて、i1の移る先がi2のとき、今度は、i2の移る先をi3…とかして、移る先を追っていくと、元の数は有限なんで、いつかは、i1に戻ります。
つまり、
i1→i2→i3→ … →i1
ていう巡回置換ができます。
で、もし、この巡回置換に含まれていない元j1があれば、今度はj1から初めて同じ操作をすれば、別の巡回置換
j1→j2→j3→ … →j1
が得られます。これを全ての元が出現されるまで繰り返せば、与えられた置換を巡回置換の積に分解できます。

回答No.3

arrysthmia

なぜ巡回置換経由で？

「n 元集合に作用する 任意の置換は互換の積に分解される」
を n についての数学的帰納法で示せばよい。

置換 σ が元 i を j に移すとき、σ と互換 ( i, j ) の積は、
i を動かさないから、元がひとつ少ない集合に作用している
とみなすことができる。

回答No.1

koko_u_u

>わかりやすい証明をお願いします。

教科書に載っている証明のどこが「わかり難い」かを補足にどうぞ。