互換に関する定義

質問

差積Δ（定義は下の通り）に互換をほどこすと、－１倍されることを
証明しようと思っています。

【差積Δの定義】
Δ＝Π（Xi－Xj)
（※1≦i<j≦n）

【互換】
XiとXjの２つだけを交換するという置換のこと。（i,j)と表す。

つまり証明したい事を式で表すと
（i,j)Δ＝－Δ
です。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
今のところ次のような方針で証明をしようと考えました。

(1)　となり同士の互換、つまり(i,i+1)Δ＝－Δを示す。

(2)　任意の互換は(i,i+1)を含む互換の積で表せることを示す。

(3)　(1)(2)より（i,j)Δ＝－Δを示す。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
それぞれ感覚的には理解できたのですが、それをどう書いていいのか分からず、困っています。
どなたか、この方針で、証明を教えていただけないでしょうか。お願い致します。

回答No.2

ryn

ご質問の方針ではないのですが
帰納法を使うと簡単ではないかと思います．

差積
　Δ = Π（X[i] - X[j])　　　　（1≦i<j≦n）
を Δ_n のように書くと
n=2 のとき
　(1,2)Δ_2 = (X[2]-X[1]) = -Δ_2
となるのはすぐにわかります．

つぎに，n=k のとき (i,j)Δ_k = -Δ_k を仮定して
　Δ_{k+1} = Δ_k * Π(X[i] - X[k+1])　　　　　(1≦i≦k)
に (i,j) を作用させると-1倍されることを
j≦k と j=k+1 に分けて証明すればよいと思います．

回答No.1

stomachman

ご質問にある方針とは違う、すんげえ泥臭いやり方で考えました。

Δのどの因子(Xi-Xj)も、二つの項Xi, Xjが i＜jになるように並んでる訳です。
ここで 1 ≦ p ＜ q ≦ nであるような任意のp,qに注目して、XpかXqを含んでいる因子だけ取り出してみます。
Xpを含んでいる因子については、
　(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xp)
　(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xp - Xi)
(i=q+1,....,n)に関しては (Xp - Xi)
ってことになってて、
Xqを含んでいる因子については、
　(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xq)
　(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xi - Xq)
　(i=q+1,....,n)は (Xq - Xi)
になってる。そして(Xp-Xq)という因子があります。

で仰る所の互換(p,q)を行ったとしますと、
(1)もちろん XpかXqのどちらかが入っていないような因子には変化がありません。
(2)互換によってXqを含んでいるようになった因子については、
　(i=1,.....,p-1)は (Xi - Xq) ---- もとと同じです。
　(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xq - Xi) ----全部、符号が逆に成っちゃいました。
(i=q+1,....,n)に関しては (Xq - Xi) ---- もとと同じです。
(3)また、互換によってXpを含んでいるようになった因子については、
　(i=1,.....,p-1)に関しては (Xi - Xp) ---- もとと同じです。
　(i=p+1,.....,q-1)に関しては (Xi - Xp) ----全部、符号が逆に成っちゃいました。
　(i=q+1,....,n)は (Xp - Xi) ---- もとと同じです。
になってる。
(4)そして(Xq-Xp)で、これも符号が逆転しました。

つまり符号が逆になった因子の個数は、2(q-p-1)+1。奇数である。だから、 （p,q)Δ＝－Δ

～～～～～～～～～～～～～～～
ついでに。
(1) n個のものの並べ方を変えるのを置換と言います。n個のもののうち一対の要素だけ入れ替えるのが互換です。そして、任意の置換は互換の積で表現できます。

(2) 互換を奇数回やってできる置換はどれも、互換を偶数回やってもできません。また、互換を偶数回やってできる置換はどれも、互換を奇数回やってもできません。
ですから置換は、互換を奇数回やってできる置換（奇置換）と、互換を偶数回やってできる置換（偶置換）に分類されます。

さてご質問において、互換だけじゃなく置換まで広げて考えてみましょう。つまり、置換をCと書く事にすると、
CΔ = (Cが偶置換ならΔ, Cが奇置換なら-Δ)