行列式の置換の表し方

質問

添付ファイルの置換１を巡回置換の積に分解せよ、の問題です。
(1 4 5)(2 7 3 6)ではだめでしょうか。
解答は、(2 7 3 6)(1 4 5)となっています。
添付ファイルの置換2を互換の積にすると、
(1 2)(14)(1 3)ではだめでしょうか。
回答は、(1 2)(3 4)(2 3)となっています。
そもそも、置換はなんのためにやるのでしょうか。
どういう計算に役立つのでしょうか。
置換の意義目的がわからないので困っています。
よろしくお願いします。

回答No.4

f272

#1です。
#3さんに可換ではないと言われて「アッ」と思った。思い込みで書くのはいけないね。#1の前半は撤回しておきます。

回答No.3

jcpmutura

(1,2)(1,3)=(1,2,3)≠(1,3,2)=(1,3)(1,2)
なので
「巡回置換(互換)の場合は可換」は誤りです
共通数字を持たない巡回置換(互換)の場合は可換です

置換1
(1,2,3,4,5,6,7)
(4,7,6,5,1,2,3)

(1,4,5)と(2,7,3,6)のように
同一数字が無い巡回置換の場合は可換ですので
(1,4,5)(2,7,3,6)=(2,7,3,6)(1,4,5)
なので
(1,4,5)(2,7,3,6)
と
(2,7,3,6)(1,4,5)
のどちらでも正解です

置換2
(1,2,3,4)
(3,1,4,2)

(1,2)(1,4)(1,3)と(1,2)(3,4)(2,3)のように
同一数字がある場合は非可換ですので
演算順序の定義によって異なります。

左から先に置換を行う場合は
(1,2)(3,4)(2,3)
が正解です
(1,2,3,4)
↓(1,2).1と2を交換する
(2,1,3,4)
↓(3,4).3と4を交換する
(2,1,4,3)
↓(2,3).2と3を交換する
(3,1,4,2)
∴
(1,2,3,4)
(3,1,4,2)

右から先に置換を行う場合は
(1,2)(1,4)(1,3)
が正解です
(1,2,3,4)
↓(1,3).1と3を交換する
(3,2,1,4)
↓(1,4).1と4を交換する
(3,2,4,1)
↓(1,2).1と2を交換する
(3,1,4,2)
∴
(1,2,3,4)
(3,1,4,2)

左から先に置換を行う場合は
(1,2)(1,4)(1,3)
はだめです
(1,2,3,4)
↓(1,2).1と2を交換する
(2,1,3,4)
↓(1,4).1と4を交換する
(2,4,3,1)
↓(1,3).1と3を交換する
(2,4,1,3)
∴
(1,2,3,4)...(1,2,3,4)
(2,4,1,3)≠(3,1,4,2)

置換は行列式を定義するために使います
X_2={1,2}
S_2=(X_2の置換の集合)={(1),(1,2)}
sgn(σ)=1(σが偶置換の場合)
sgn(σ)=-1(σが奇置換の場合)

[a(1,1),a(1,2)]
[a(2,1),a(2,2)]
の
行列式
|a(1,1),a(1,2)|
|a(2,1),a(2,2)|
=def=
Σ_{σ∈S_2}sgn(σ)a(1,σ(1))a(2,σ(2))
=
a(1,1)a(2,2)-a(1,2)a(2,1)

回答No.2

BASKETMM

一つだけ。
用語に注意しましょう。
ご質問の対象は、【行列】です。【行列式】ではありません。
行列は丸みのある括弧で挟み、行列式は直線で挟んで、表します。
名前は似ていますが、両者は全く違うもので、取り違えると、一切の議論が出来なくなります。

英語は【行列 = matrix】【行列式 = determinant】

回答No.1

f272

一般には置換は積について非可換ですが，巡回置換の場合は可換です。したがってどんな順序で書いてもかまいません。互換は長さが2な巡回置換ですから，結論は同じです。
置換の意義目的は自分で探してください。とりあえず対称群について学んで見ればどうですか?