置換の元（ｎ!)のうち遇置換はいくつ？

質問

線形代数をはじめました。
なにをいっているのかさっぱりわかりません。
ｎ文字の置換をＳｎとしてＳｎに含まれるｎ！個の置換は互換の積に分解できますが、では遇置換はいくつあるのでしょうか。奇置換もあるのでしょうか。
教えて下さい。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

えぇとね, 答えを書いてしまうのは簡単なんだよ. これはまず間違いなく #2 さんも同様. でも, 一足飛びに答えを書いてしまうと, あなたはおそらく「考える」ことをしないと思う. そして, この問題だけについていえばそれでもいいかもしれないけど, このあとのことを考えると「答えを知る」だけじゃなくて「どうしてそうなるのか」を考えてほしいんだ. だから, 直接答えは書かないで誘導しようとしてるんだよ.
ということで, #2 に続いて答えに誘導してみよう.
Sn に含まれる互換 c を固定し, 写像 f: Sn → Sn, f(x) = cx を考える. このとき x が偶置換なら f(x) は奇置換だし, x が奇置換なら f(x) が偶置換となることはいいだろう. さてそこで, だ.
(1) f が全単射であることを示せ.
(2) Sn のうち偶置換はいくつあるか?

お礼

アドバイスありがとうございます。n!/２だわん。
確かに考えることを避けております。考えられないのです。
数学を勉強するのは無謀な試みと日々嘆いております。
でも苦しみを楽しみと思いがんばります。

回答No.2

arrysthmia

Ｓn に含まれる互換のひとつ(どれでもよい
どれかひとつに固定)を c として、
Ｓn から Ｓn への写像 x → cx を考えて御覧。
この写像は、どんな置換をどんな置換に移すか。

補足

任意の置換の分解の可能性はわかります。
偶奇はいつも同じもなんとなくわかります。
1個固定したら互換は1つ少ない積に分解します。
でもＳｎの元（みんなでｎ！）のうち
偶置換はいくつあるのですか。教えてください。

回答No.1

Tacosan

確かに. 「偶置換」じゃないと意味不明ですな.
で, 「偶置換」とか「奇置換」とかがどういうものであるかは理解できていますか?
分野としては線形代数なのか離散数学なのか, どっちがより適切なんだろう.

補足

申しわけありません。偶置換です。
偶数個の互換の積に分解するものを偶置換、奇数個のものを奇置換と呼びます。