巡回群と巡回群の直積は巡回群？
Wikipediaの巡回群の項目に
p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。
ということが書いてあったのですが、これって簡単に証明できるのですか？
証明の概略と、これが十分条件も満たしてるならそちらの方の証明の概略も教えていただけないでしょうか。
そもそも巡回群の直積が巡回群になるとは、たとえば{e,a,a^2}と{e,b,b^2,b^3}の直積を考えたときに、<a,b>^nは単純に<a^n,b^n>というように考えて、
<a,b>^0=<e,e>
<a,b>^1=<a,b>
<a,b>^2=<a^2,b^2>
<a,b>^3=<e,b^3>
<a,b>^4=<a,e>
<a,b>^5=<a^2,b>
<a,b>^6=<e,b^2>
<a,b>^7=<a,b^3>
<a,b>^8=<a^2,e>
<a,b>^9=<e,b>
<a,b>^10=<a,b^2>
<a,b>^11=<a^2,b^3>
はい、巡回群。という感じになるのでしょうか？
お礼
ありがとうございました。