代数学の置換についての質問です

質問

n≧3とする
{g∈Sn|δ(123)δ^(-1)=(123)}をすべて求めよ

という問題なのですが、(123)という巡回置換を互換の積で、(13)(23)と表すまではできたのですが、
この後n≧3でどのように考えていったらよいかが分かりません

よろしくお願いします

回答No.3

jmh

> jmhさん　すいません　そのようになった理由を良かったら教えてもらえないでしょうか？
>
＃２さんがおっしゃっるように「ｇとδが無関係」に見えるからです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6483191.html#a2

回答No.2

ramayana

gとδが無関係なら、ANo.1さんが正解です。
もし、gとδが同じものを指しているなら、(123)と可換な元、すなわちg(123)=(123)gとなるgをすべて求めよ、という問題になります。この場合は、次のようになります。

（１）　n=3のとき

S3の6個の元すべてを調べて、(123)と可換なものを選び出してくればいいだけです。結果は、｛単位元、(123)、(132)｝です。これは、3次の交代群A3です。

（２）　一般のとき

gが1,2,3をそれぞれx,y,zに移したとすると、x,y,zは、1,2,3のどれかでないといけません。例えば、x>3とすると、1は、g(123)によってxに移り、(123)gによってyに移ります。x≠yですから、g(123)≠(123)gとなって、このgは条件を満たさないことが分かります。y>3やz>3のときも、同じように、条件を満たさないことが分かります。

上のことから、gは、1,2,3の中だけの置換と、4以上の数値の中だけの置換の直積になることが分かります。（１）により、1,2,3の中だけの置換で条件を満たすのは、3次交代群A4です。

よって、求める集合は、A4×Gとなります。ただし、Gは、Snの部分集合（実際は部分群）であって、1,2,3を固定する置換全体です。

お礼

問題文を間違えてました　すいません　回答ありがとうございました

回答No.1

jmh

δがδ（１２３）δ^（－１）＝（１２３）のとき、＝Ｓｎ。
そうでないとき、＝空集合。

…だと思います。

補足

jmhさん　すいません　そのようになった理由を良かったら教えてもらえないでしょうか？