代数学なんですが・・・

質問

「n次交代群A_nはn-2個の長さ3の巡回置換(1 2 3),(2 3 4),・・・,(n-2 n-1 n) で生成されることを示せ。」なんですが、どうやら帰納法で証明するらしいのですが、全くわかりません。誰か教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

＊注意
　(1,2,3,4) → (2,3,4,1)
のような置換を
　(1,2,3,4/2,3,4,1)
と表すことにする。

【問題】
n次交代群A_nは、(n-2)個の長さ3の巡回置換
　(1 2 3),(2 3 4),…,(n-2 n-1 n)
によって生成されることを証明せよ。

【証明】
数学的帰納法によって題意を示す。
(1)n=3のとき
3次交代群A_3
　(1,2,3/1,2,3),(1,2,3/2,3,1),(1,2,3/3,1,2)
は、n-2=1個の長さ3の巡回置換
　(1 2 3)
によって生成される。
(2)n=mのとき
m次交代群A_mは、n-2=m-2個の長さ3の巡回置換
　(1 2 3),(2 3 4),…,(m-2 m-1 m)
によって生成されると仮定する。ところで、m次交代群とは、m次の置換における(m-1)m/2個の互換全体の集合G_m
　(1 2),(1 3),(1 4),…,(1 m)
　(2 3),(2 4),…,(2 m)
　(3 4),…,(3 m)
　…
　(m-1 m)
から、任意に偶数個だけ選び、それらを組み合わせてできる置換全体である。ゆえに、m+1次交代群A_(m+1)は、m個の互換
　(1 m+1),(2 m+1),(3 m+1),…,(m m+1)
をG_mに加えたG_(m+1)から、任意に偶数個だけ選び、それらを組み合わせてできる置換全体である。また、それは、
　(p q)(r m+1),(r m+1)(p q),(r m+1)(s m+1), 1≦p,q,r,s≦m,p<q
によって表される置換H_(m+1)と交代群A_mの要素を組み合わせてできる置換全体である。H_(m+1)に含まれる置換には、
　(x_1,x_2,x_3,…,x_a,…x_b,…,x_m,x_(m+1)/x_1,x_2,x_3,…,x_(m+1),…,x_a,…,x_m,x_b) … (*)
と
　(x_1,x_2,x_3,…,x_a,…x_b,…,x_c,…,x_m,x_(m+1)/x_1,x_2,x_3,…,x_(m+1),…,x_c,…,x_b,…,x_m,x_a) … (**)
という2つの型がある。
　(x_(a-1) x_(a) x_(a+1))(x_a x_(a+1) x_(a+2))(x_(a+1) x_(a+2) x_(a+3))…(x_(m-1) x_m x_(m+1))
という置換は、
　(x_1,x_2,x_3,…,x_(a-1),x_a,x_(a+1)…x_m,x_(m+1)/x_1,x_2,x_3,…,x_m,x_(m+1),x_(a-1),x_(a),x_(a+1),…,x_(m-2),x_(m-1))
という置換を表すから、これに、G_(m)に含まれる適切な互換を偶数個だけ組み合わせることで、
　(x_1,x_2,x_3,…,x_(a-1),x_a,x_(a+1)…x_m,x_(m+1)/x_1,x_2,x_3,…,x_(a-1),x_(m+1),x_(a+1),x_(a+2),…,x_(m-2),x_(m-1),x_(a),x_(m))
という置換が生成される。これに、G_(m)に含まれる互換
　(x_a x_m)(x_a x_b)
を組み合わせれば、(*)が生成され、
　(x_a x_m)(x_b x_c)
を組み合わせれば、(**)が生成される。以上から、交代群A_(m+1)が、n-2=m-1個の長さ3の巡回置換
　(1 2 3),(2 3 4),…,(m-1,m,m+1)
によって生成されることが分かる。
(1),(2)から、題意が示される。　q.e.d.