証明問題について

質問

x^3+3x+7=0となる実数xが存在することを証明せよ。
という問題で、この方程式を解けば証明できると思うのですが、解き方がわかりません。
やってみたものの、解がx=√3、-7になってしまい、証明できません。
どなたか教えていただけませんか？

回答No.5

selpo · ベストアンサー

f(x) = x^3 + 3x + 7 とおく。
f(-2) = -7, f(-1) = 3 より、
-2 < x < -1 に、解を持つ。

一般に、f(x)が連続で、f(a) * f(b) < 0 のとき、
f(x) = 0 は a < x < b に解をもちます。
グラフを書いてみれば明らかでしょう。

もうちょっと一般化して、次が成り立ちます。
f(x) を[a, b]で連続な関数とし、f(a) < k < f(b)
とすると、f(c) = k となる c が a < x < b に存在する。
これを、中間値の定理と言います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/中間値の定理

お礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

rnakamra

実数係数の3次方程式には必ず実数解が存在します。
3次多項式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a>0とすると
f(x)→-∞(x→-∞),f(x)→+∞(x→+∞)であり、適当なx1,x2を持ってくると
f(x1)<0,f(x2)>0とすることができます。
f(x)は全ての実数xに対して連続であるので中間値の定理からf(x3)=0,x1<x3<x2となるx3が必ず存在します。

回答No.3

info22

f(x)=x^3+3x+7とおけば
f(x)は実数領域で連続関数であり
f(-2)=-8-6+7=-7<0
f(0)=7>0
なので
-2<x<0の間にf(x)=0となる実数xが存在する。
と言えるのでは。。。

なお、実数解は１つ（他の２つは共役複素数解になる）ですが
カルダノの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を使って出せます。
x={(√(53)-7)^(2/3)-2^(2/3)}/{2√(53)-14}^(1/3)≒-1.40629

お礼

カルダノの公式は初耳でした。

回答No.2

chiropy

x=√3も　x=-7 or √(-7)=√7i　のどちらも与式を満たさないので解でないと思うのですが…

解がx=√3、-7
はどうやってだしたのですか？

回答No.1

Mr_Holland

f(x)＝x^3+3x+7　と置いたとき、f(x)は連続関数であり、
　　f(-1)＝3＞０、　f(-2)＝-7＜０
と、ｘ＝－１とｘ＝－２の間でf(x)の符号が反転するので、方程式f(x)＝０は、－１と－２の間に実数解を持つということではいけないのでしょうか。

　ちなみに、実解は次のように面倒なものになります。

　　x＝(√53/2-7/2)^(1/3)-1/(√53/2-7/2)^(1/3)
　　　≒-1.406287579960535