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2次方程式の証明です
p、qを相異なる実数とすると、2つの2次方程式x^2+px-1=0、x^2+qx-1=0は、それぞれ相異なる2つの実数解を持つことを示し、また、2つの方程式の解は、数直線上に交互に並ぶことを証明せよ。 この問題の解答解説をお願いします！ 自分でも解いたのですが、写真のように、f(a)>g(a)、g(b)<g(b)になればaとbの間に解を持つことになると思ったのですが、p>qという条件からg(b)<g(b)にならずに行き詰まってます、
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f(x)=0 の2解を小さいほうからa,bとする。 f(0)=-1<0であること、y=f(x)のグラフが下に凸な放物線であることからa<0<bである。 また、解と係数の関係よりab=-1なのでa=-1/bである。 g(x)=0 の2解を小さいほうからc,dとする。 同様にc<0<dであり、c=-1/dである。 a-c = (-1/b)-(-1/d) = (b-d) / bd であり、bd>0なので a-c と b-d は『共に正』『共に負』のどちらか。 共に正であれば a>c , b>d より c<a<0<d<b 共に負であれば a<c , b<d より a<c<0<b<d いずれの場合も題意をみたす。（証明終わり）
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- muturajcp
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>g(b)<g(b)になれば…ではなく f(b)<g(b)です >g(b)<g(b)にならずに…ではなく f(b)<g(b)です f(b)<g(b)にならずにと考える前に なぜ f(a)>g(a) となったのかその根拠を考えましょう f(a)-g(a)=pa-qa=a(p-q) だから p-q>0だから a>0であればa(p-q)>0といえますが なぜ a>0 となったのかその根拠を考えましょう f(x)=0の解をa,bとしたのだから f(x)=(x-a)(x-b)=x^2+px-1 だからx=0とすると f(0)=ab=-1<0 だから a,bの大きい方が正小さい方が負となる a>bだから a>0>b だから a>0 となるから f(a)-g(a)=pa-qa=a(p-q)>0 となり f(a)>g(a) がいえるのです g(b)-f(b)=qb-pb=b(q-p) だから b<0,q-p<0 だから負*負=正だから b(q-p)>0 だから g(b)-f(b)=qb-pb=b(q-p)>0 だから g(b)>f(b) ∴ f(b)<g(b)
- kiha181-tubasa
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「それぞれ異なる２つの実数解をもつことを示す」全般は証明できているので省きます。 質問者の使われた文字はそのまま使って説明します。 f(a)=0, f(b)=0 a^2+pa-1=0, b^2+pb-1=0……(1) g(x)=0の2つの解がf(x)=0の2つの解と交互に並ぶ条件は y=g(x)のグラフがaとbの間で一度だけx軸と交わることです。 つまりg(a)とg(b)が異符号つまり g(a)g(b)<0 を示せばよいのです。 （a,bやp,qの大小は問いません） では，先に進みましょう。 g(a)g(b) =(a^2+qa-1)(b^2+qb-1) =(qa-pa)(qb-pb) (∵(1)よりa^2-1=-pa, b^2-1=-pb） =ab(q-p)^2 ここで，a,bは方程式x^2+px-1=0の解であるから解と係数の関係より ab=-1 よって g(a)g(b)=-(q-p)^2<0 これで証明されました。
お礼
ありがとうございます！