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4次方程式の問題がわかりません
- 4次方程式の問題がわかりません。aを実数の定数とするとき、異なる4つの実数解を持つ範囲を求めています。
- 問題文から代入を行い、方程式を整理するとt＾2-2(a+2)t+4a+20=0となります。
- 方程式の解を求めるためにt＞-1の範囲やaの条件を考えますが、答えはa＞4となります。解説ではa＞-3も必要なことが説明されています。
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a＞-25/6 を出す際に、 a+3＞√(a＾2-16) の両辺を2乗した。平方根を2乗して外すところって、間違えやすいから要注意ですよね。この場合、 a+3＞√(a＾2-16) → a＞-25/6 は言えるが、逆は言えない。実のところ a＞-25/6 ⇔ |a+3|＞√(a＾2-16) という関係にある訳です。 ところで、この問題に限ったことじゃないんですが、ある範囲Aを見つけて ● 方程式(1)が異なる4つの実数解を持つ → a∈A を証明するところまでやっても、それだけじゃ不足です。 ● a∈A → 方程式(1)が異なる4つの実数解を持つ も示さないと「方程式(1)が異なる4つの実数解を持つとき，aのとり得る値の範囲を求めよ」に答えたカンペキ解答にはならない。 ここんところをチェックしていれば、上記の見落としに気付いたんじゃないかな。 それに、a∈Aのときに、(1)の4つの解がホントに全部異なるかどうかについて検討するのを忘れていることにも、気付けたでしょう。どういうことかというと、(3)の二つの解をt=α, βとするとき、これを(2)に代入して2本の二次方程式ができます。(2)にt=αを代入したものが相異なる2つの実数解p,qを持ち、(2)にt=βを代入したものが相異なる実数解r,sを持つための条件は検討なさっている。それらは(1)の解になっている訳ですが、でもこれだけじゃ、(1)が4つの異なる実数解を持つ、という事は言えていない。たとえばp=rってことがホントに起こらないのかどうか検討しなくちゃカンペキとは言えませんネ。
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- mister_moonlight
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途中までは良いが、tを求めてしまうのだけは止めた方が良い。 計算が煩いから。 考えられる方法は2つある。 （解法-1） f（t）＝t＾2-2(a+2)t+4a+20＝0の2つの異なる実数解が、t＞-1であればよい。 従って、判別式＞0、f（-1）＞0、軸＞-1 が条件。結果は a＞4。 （解法-2） y＝t＾2-4t＋20＝2a*（t-2）と変形して、y＝t＾2-4t＋20 と y＝ 2a*（t-2）のグラフがt＞-1で2つの異なる交点を持つと良い。 y＝t＾2-4t＋20 ＝（t-2）＾2＋16 と y＝ 2a*（t-2）のグラフを考える。 直線：y＝2a*（t-2）は定点（2、0）を常に通り、傾きが 2a の直線から、傾き 2a の値の範囲を求める。
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ありがとうございます． fや軸で考えればいいのですね． これからもよろしくお願いします．
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その通り。 √(a~2 - 16) ＞ 0 なので、 a + 3 ＞ √(a~2 - 16) には、 既に a + 3 ＞ 0 が含まれています。 それなのに、 (a + 3)~2 ＞ a~2 - 16 のほうは、 a + 3 ≦ 0 でも成立してしまうことがあるから、 変形したときに「かつ a + 3 ＞ 0」を別記して 残しておく必要があるのです。
お礼
ありがとうございます． これからもよろしくお願いします．
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(5) を導くとき、 a + 3 ＞ √(a~2 - 16) から (a + 3)~2 ＞ a~2 - 16 と変形しましたね。 このとき、a + 3 ＞ 0 が必要になったのです。 z ＞ √7 と z~2 ＞ 7 は、 同値ではないでしょう？
お礼
ありがとうございます． √(a~2 - 16)＞0なので，すでにa+3＞0が含まれているのではと思いました． しかしa＜-4でも√(a~2 - 16)＞0は成り立つが，その場合はa+3＞0が成り立ちませんでした． これもよろしくお願いします．
お礼
ありがとうございます． そういえば出てきた解が重解になることもあるのですね． これからもよろしくお願いします．