数学の問題がわかりません＾＾；教えてください。

質問

［問題(1)］
xについての2次方程式(x-1)(x-2)+(k+a)x+a=0はk≧1であるすべての実数kに対して実数解をもっている。このとき，実数aの範囲を求めよ。

≪自分の解答≫
x^2+(k+a-3)x+a+2=0という風にまとめて、これから（判別式）使う名かな…と思ったのですが、なんか違うみたいで…。お願いします。

[問題(2)]
4次方程式x^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が実数解をもつようなbの値の範囲を求めよ。また，ちょうど3つの実数解をもつとき，bの値と解を求めよ。

≪自分の解答≫
初めの方は2次方程式だと（判別式）≧０でいいと思うのですが、4次方程式であと考えられません＾＾；
あと方も、グラフを書いて考えるのかなぁ…と思うのですが、いまいちぴんと来ないのです＾＾；よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra

(2)についてのヒント。
式をよく見ると、4次の係数と定数項が、2次の係数と1次の係数がそれぞれ等しくなっています。
このような場合は次のように取り扱うとよいでしょう。

式の両辺をx^2で割る(x=0は解ではないので問題はない)
x^2-2x+b-2/x+1/x^2=0
外側から二つずつまとめていく。
(x^2+1/x^2)-2(x+1/x)+b=0
(x+1/x)^2-2+2(x+1/x)+b=0
t=x+1/xと置き換える。
t^2+2t+b-2=0
これでtについての２次方程式に置き換わりました。
この２次方程式の解をα,βとします。
t=αのとき
α=x+1/x→x^2-αx+1=0
とαを係数として持つxの２次方程式になります。これが実数解を持つための条件を考えればよいでしょう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

gohtraw

問題１はそれでいいのではないでしょうか？ｋ＞＝１の時に判別式＞＝０となるａの範囲を求めるということで。

問題２ですが、実数解を持つということはグラフを書いたときに少なくとも一点でｘ軸と交わる（あるいは接する）ということですよね。増減表と一般的な四次関数のグラフを書いて、どういうときに上記が満たされるか考えてみて下さい。三つの実数解の場合も同じで、三点でｘ軸と交わる（あるいは接する）条件を求めればいいことになります。

考え方のみ書きますので行き詰ったらまた質問下さい。

お礼

ありがとうございました！

補足

4次方程式での判別式というか、それがわからないんです＾＾；
ｋの範囲も出ていて、よくわかりません。
問題２はなんとかいけそうです＾＾