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塾の先生もわかりません、教えてください
次の問題ですが方向性も全くわかりません。 塾の先生からも「わからんわぁ」で一蹴されてしまい、方向性もつかめず困っています。どなたか教えてください。 問題文:自然数kがk=2のp乗 x q(pは0以上の整数、qは奇数)と表せるとき、f(k)=qとする S(n)=nΣk=1 f(k)とするとき、 1、S(16)-S(8)を求めよ。 2、S(2n)-S(n)を求めよ。 3、S(2のm乗)を求めよ。(m=0,1,2,3,・・・) 以上3つです。 ※数式の書き方に迷ってしまい、上記の様に記載しました もっと判りやすい書き方があれば、そちらも教えてください。 よろしくお願いします。
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非常に面白い問題ですね。 解いてみて思わず感動しました。 この問題は恐らく考えてばかりいても解けません。 S(2)-S(1) S(4)-S(2) S(6)-S(2) ・・・ これらをずっと計算してみてください。 自ずと規則性に気づくはずです。 そうするとS(2n)-S(n)=n^2と推測ができます。 そこで数学的帰納法を使うのです。 n=kのときS(2k)-S(k)= k^2 まではいいのですが、 注意すべきなのは、 S(2k+2)-S(k+1)=S(2k)-S(k) + f(2k+2) + f(2k+1) - f(k+1) となるのですが、f(2k+2)=f(2(k+1))=f(k+1)となることです。 つまりf(k+1)の項が消えます。 そして2k+1は奇数なので、f(2k+1) = 2k+1となるので、 S(2k+2)-S(k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2となるのです。 これさえわかれば3番の問題は容易に解けるはずです。
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- oyamala
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No.2の者ですが、 S(6)-S(2) と書いてましたが S(6)-S(3) の間違いです。失礼しました。
- arrysthmia
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小問の誘導に沿って考えていくのがよいと思います。 ポイントは、2. です。 Σ[kは1からnまで] f(k) = Σ[kは1からnまでの偶数] f(k) + Σ[kは1からnまでの奇数] f(k). と分解してみると、奇数に関するΣは容易に計算できるでしょう。 偶数に関するΣをどうするか? を考えて、2. の答えへ繋げられると良いですね。
お礼
アドバイスありがとうございます。 また、nΣk=1と記載したΣの部分、Σ[kは1からnまで]と記載するば良いのですね。こちらも参考にさせて頂きます。