素数の世界、、、 Thueの証明で

質問

n,k≧１を(1+n)^k＜２^nなる整数とし、p1=2,p2,,pr≦2^nなる全ての素数とする。ここでr≦ｋを仮定する。
　自然数が素数の積として一意に分解されるという基本定理から、
全ての整数ｍ（１≦m≦２^n）は次の形に一意的に
表される、ｍ＝2^e1３^e2・・・ｐr^er
（２からprの素数の累乗です）
問題はこのあと、
すべての可能性を検討することにより
2^n≦(n+1)n^(r-1)<(n+1)^r≦(n+1)^k＜2^n
の不等式です。右の3つは当たり前なのですが
どうにも
２^n≦(n+1)n^(r-1)
n＋１かけるｎのｒ－１乗のところが２のｎ乗以上になるのがよく分かりません。すべての可能性を検討するってどうしたらよいのでしょう。お教え下さい。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

1以上2^n以下の自然数の個数が2^n個であることは大丈夫？

あとは、ｍ=2^(e_1)*3^(e_2)*・・・*(p_r)^(e_r)
0≦e_1≦n、0≦e_2≦n-1、・・・、0≦e_r≦n-1
と書ける自然数mの集合をSとします。

mの値はe_1、e_2、・・・、e_rによって定まります。

0≦e_1≦nですから、e_1の取れる値はn+1通り
0≦e_2≦n-1ですから、e_2の取れる値はn通り
・・・
0≦e_r≦n-1ですから、e_rの取れる値はn通り

よって、mは(n+1)n^(r-1)通りの値をとります。

したがって、Sの要素の個数は(n+1)n^(r-1)個あります。

一方、1以上2^n以下の自然数kは、
k=2^(e_1)*3^(e_2)*・・・*(p_r)^(e_r)とかけますから、kはSの要素である。

したがって、2^n≦(n+1)n^(r-1)となります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。解決しました

回答No.2

liar_adan

中身は検討していないのですが、
この式おかしいんじゃないでしょうか？

2^n≦(n+1)n^(r-1)<(n+1)^r≦(n+1)^k＜2^n

の各式をそれぞれA,B,C...とおいてみると、

A≦B＜C≦D＜A

となって、あきらかに矛盾です。
参考書に何かミスがあるのでは。

補足

矛盾の証明なので、ミスではないようです