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約数の総和

2011/08/19 12:45

正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか？総和なので ()+()+()ではないかと思いました。

giantsai
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数学・算数
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eco1900
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2011/08/19 14:48 回答No.5

約数の総和正の整数AがPのk乗qのl乗rのm乗と素因数分解されるとき、Aの正の約数の総和は (1+P+・・・+Pのk乗)(1+q+・・・qのl乗)(1+r+・・・+rのm乗) と表されるのはなぜですか？総和なので ()+()+()ではないかと思いました例えば、小学生のように「２４」の約数を書き出すと・・・{ １，２，３，４，６，８，１２，２４ }　ですね。中学になって「指数」というのを学習したからには、もっと上手な書き出し方をしてみましょうか^^A。 →まず「２４」を素因数分解します。２４＝２^3×３ →ここで、あえて最後（２４＝・・・×３）の「３」の指数もあえて１乗とはっきりと示しておきます。 →この形から、２４の約数というのは、指数の部分に着目して、次のように考えることができますよ^^。＊「２^3×３^1」のいう形から・・・指数を０乗から、もれなく書いてみましょう。 →すると・・・　　　「２^0×３^0」、「２^0×３^1」　　　「２^1×３^0」、「２^2×３^1」　　　「２^2×３^0」、「２^2×３^1」　　　「２^3×３^0」、「２^3×３^1」 →次に、この形のまま加えると・・・　　　（２^0×３^0）＋（２^0×３^1）　　←この部分だけを注目すると「２^0（３^0＋3^1）」ですね。　　　＋（２^1×３^0）＋（２^2×３^1）　←上と同じように見直すと「 2^1（３^0＋３^1）」ですね。　　　＋（２^2×３^0）＋（２^2×３^1）　←以下、同じように見直すと「２^2（３^0＋３^1）」ですね。　　　＋（２^3×３^0）＋（２^3×３^1）　←この部分も、「２^3（３^0＋３^1）」ですね。ということは、見直した形を一気に書き直すと・・次の計算式のようになります。　　（３^0＋3^1）（２^0＋２^1＋２^2＋２^3）以上から、約数の総和は、素因数分解した時の各因数につく指数に注目して・・・「ある数A＝p^a×q^b×r^c」と因数分解されたなら、その総数は、各因数（p,q,r）に付いた指数に着目し、０を起点としてその指数までの自然数を付けた形の和で表します。そして、それらの積を計算することによって、「約数の総和」と求めることとなります＾＾。