群論

質問

G：位数有限＝ｎの可換群
ｎ＝p1＾α1*p2＾α2*p3＾α3・・・ps＾αs
ｐｉは素数
Ｇ＝P1×P２×P３×・・Pｓ
Piは位数がpi＾αiなる群とできる。
ｆi＝pi＾αiとする
Ｇ（ｆi）＝｛a＾ｆi｜ａ∈Ｇ｝とおくと

PiはＧ（ｆi）に等しいからとあるのですが、その理由がわかりません。教えてください。
大島勝（共立全書昭和43年）　群論ｐ８５

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

よし、簡単な例で考えてみよう。

P1 = Z/2Z
P2 = Z/3Z

(Z は整数のなす加法群)とすると

G(2) = {(2a, 2b) | a ∈ Z/2Z, b ∈ Z/3Z }
= {(0, 2b) | a ∈ Z/2Z, b ∈ Z/3Z }
= {(0, u) | u ∈ Z/3Z }

違うやん。。。

お礼

Ｇ（ｆi）＝｛a＾ｆi｜ａ∈Ｇ｝とおくと
私の定義が間違えておりました。ｅ：単位元
Ｇ（ｆi）＝｛a｜a＾ｆi＝ｅ、ａ∈Ｇ｝とおくとでした。

お答え納得、どうもありがとうございました。
これから数学の定理はsimpleな例がだせるならそれで検証せよを
心がけたいと感じました。