可換群で同型,や非同型の判定の仕方は?

質問

下記の可換群でどれとどれとが同型,どれとどれとが非同型であるとどうやって判定すればいいのでしょうか?

位数が400である可換群は
Z_{2^4}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_5,
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_5(+)Z_5.
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_5(+)Z_5
Z_{2^4}(+)Z_5(+)Z_5,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_2(+)Z_{2^3}(+)Z_{5^2},
Z_{2^2}(+)Z_{2^2}(+)Z_{5^2},
Z_{2^4}(+)Z_{5^2}
があると思います。

位数32である可換群は
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_2,
Z_2(+)Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_2(+)Z_{2^3},
Z_2(+)Z_{2^2}(+)Z_{2^2},
Z_2(+)Z_{2^4},
Z_[2^2}(+)Z_{2^3},
Z_{2^5}
があると思います。

Z_{p^2}(+)Z_{p^3}の位数{p^2}の部分群は
({0mod{p^2}},Z_{p^2}),(Z_p,Z_p),(Z_{p^2},{0mod{p^3}})があると思います。

回答No.5

motari · ベストアンサー

>m1 | m2 |...| mrはどういう意味でしょうか?
これはお察しの通りです。

>これら二つを組み合わせるとはどういうことでしょうか?
たとえば位数135の可換群は、1つめにより同型を除き

Z_{27} + Z_{5}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}

で尽くされます。ある事実に注目すれば、それぞれ

Z_{135}
Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

と同型であることがわかります。
このある事実は1つめから2つめを示すときにも使われますが、それが何であるかは既に答えも書いてあるので自分で考えてみてください。
数字をよく観察すれば絶対に分かります。

お礼

大変ありがとうございます。

>たとえば位数135の可換群は、1つめにより同型を除き

1つめとは何を指しているのでしょうか?

Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
Z_{27} + Z_{5}=Z_{135}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

という関係になるんですよね。

「G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意
(ただしm1 | m2 |...| mrである)」
つまり,
Gの直和分解はG = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr(ただしm1 | m2 |...| mrである) …(*) のものに限り,
それ以外の場合(m1 | m2 |...| mrとならない場合)は必ず(*)の形の直和分解と同型になる。
という主張なのですね。

Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
Z_{27} + Z_{5}=Z_{135}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{45} = Z_{9} + {15}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}=Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}

から非同型のもの(代表直和分解とでも呼びましょうか)を選び出すと
位数12では
Z_12は,m1 | m2 |...| mrの確かめようが無いからとりあえず代表決定。
Z_{2^2} + Z_{3}は3|4ではなので代表落ち。
Z_{6} + Z_{2}は2|6となるので代表決定。
Z_{2}^2 + Z_{3}は3|4ではないので代表落ち。
Z_2(+)Z_2(+)Z_3は2|3とはならないので代表落ち。
よって 位数12の(非同型な)可換群はZ_12,Z_6(+)Z_2の2名。

位数135では
Z_{135}は無条件で代表決定。
Z_{27} + Z_{5}は5|27でないので代表落ち。
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}も3|5ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{45}は3|45なので代表決定。
Z_{9} + {15}は9|45ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}は3|5ではないので代表落ち。
Z_{3} + Z_{3} + Z_{15}は3|3|15なので代表決定。
よって位数12の(非同型な)可換群はZ_135,Z_3(+)Z_45,Z_3(+)Z_3(+)_Z_15の3名。

と「G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意(ただしm1 | m2 |...| mrである)」
を用いて求めたつもりですがこのような解釈でよろしいでしょうか?

回答No.6

motari

>1つめとは何を指しているのでしょうか?
分解Z^n (+) Z_(p1^r1) (+)...(+) Z_(pm^rm)により分類されること、です。

同型類の代表は
Z_{27} + Z_{5}
Z_{9} + Z_{3} + Z_{5}
Z_{3} + Z_{3} + Z_{3} + Z_{5}
で既に尽くされていて、これと同型な別の表示を求めるのにいくらか簡単な結果を使うことになります。

質問者さんも概ね分かってきておられるようなので私からの回答はこの辺にさせていただきます。
お読みいただきありがとうございました。

お礼

どうもありがとうございました。
おかげさまで理解が深まりました。

回答No.4

motari

あくまでも素数ベキによる剰余の和へ分解したときの表示での話です。

そうでない場合には、
アーベル群の基本定理の別の定式化として、

G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意
(ただしm1 | m2 |...| mrである)

というものがあるので、これら二つを組み合わせれば
Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
などが判定できます。

お礼

ご回答大変ありがとうございます。

> あくまでも素数ベキによる剰余の和へ分解したときの表示での話です。
> そうでない場合には、
> アーベル群の基本定理の別の定式化として、
> G = Z^n (+) Z_m1 (+)...(+) Z_mr という表示が一意
> (ただしm1 | m2 |...| mrである)

m1 | m2 |...| mrはどういう意味でしょうか?
m_rをm_{r-1}が割り切れ,m_{r-1}をm_{r-1}が割り切れ、、、という意味でしょうか?

> というものがあるので、これら二つを組み合わせれば
> Z_{12} = Z_{2^2} + Z_{3}
> Z_{6} + Z_{2} = Z_{2}^2 + Z_{3}
> などが判定できます。

これら二つを組み合わせるとはどういうことでしょうか?

是非,ご解説願います。m(_ _)m

回答No.3

motari

G =(群同型) Z^n (+) Z_(p1^r1) (+)...(+) Z_(pm^rm)
と分解したとき、(n,p1^r1,...,pm^rm)という表示が一意なので、
表示が異なれば同型ではありません。

例えば質問者さんの２つの例では全て非同型です。

お礼

>表示が異なれば同型ではありません。
Z_{2^2・3}とZ_{2^2}(+)Z_3は表示は異なりますが同型ですよね?

Z_96とZ_{2^5}(+)Z_3は双方とも最大位数96の元(1mod96と(1mod2^5,1mod3))を持つので同型なのですね。
一方,Z_{2^4}(+)Z_2(+)Z_3は位数96の元を持たないのでZ_96とは非同型となるのでしょうか?

回答No.2

motari

アーベル群の基本定理とは、有限生成アーベル群はいくつかのZやZ_(p^r)の直和と同型である、というものです。
同型なものの表示が一意なので、同型かどうかは一目瞭然です。

低い位数のもので実際に表をかいてみると直感的にも分かるかと思います。
参考URLもご覧下さい。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups

補足

ありがとうございます。
いろいろ考えてみましたがどうしても分かりません。
是非,同型・非同型の判定法をご教示下さい。m(_ _)m

回答No.1

motari

アーベル群の基本定理により判定できるはずです。

お礼

> アーベル群の基本定理により判定できるはずです。

アーベル群の基本定理って
一般にn=Πp_i^{r_i} (但し,p_iは素数,r_i∈N)と素因数分解される時,
Z_nの部分群(アーベル群(?)全体の集合は{(+)[i=1..k]Z_{{p_i}^{r'_i}};1≦r'_i≦r_i,r'_1+r'_2+…+r'_k=r,1≦k≦r}となるのですよね。

これからどうやって同型・非同型の判定ができるのでしょうか?