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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：イデアル）
可換体論のネーター環の章での素イデアルの性質についての質問
このQ&Aのポイント
- イデアルＡが可換体論のネーター環の素イデアルで、イデアルＡがどの素イデアルＰiにも含まれていない場合、Ａの元aで、どの素イデアルＰiにも含まれないものが存在しますか？
- 参考書によると、帰納法を用いて証明することができます。証明の概要は、帰納法の仮定として仮定する素イデアルＰn-1まではＡに含まれず、Ｐn-1の元ａ1もＰnに含まれないとします。そして、Ｐn-1とＰnの関係を考えると、ＰnはＰn-1に包まれず、Ｐnに含まれない元ｂを適切に選ぶことができます。最後に、ａ＝ａ1+ｂとすることで、Ａの元ａで、どの素イデアルＰiにも含まれないものが存在することがわかります。
- 質問者さんは、「ａがＡの元」という部分に疑問を持っています。なぜなら、ａの定義によってｂもＡの元となるため、ｂはＰ1---Ｐn-1の元でＰnに包まれないものとなります。しかし、参考書の証明では、ａがＡの元であるとされているため、疑問が生じています。
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質問者が選んだベストアンサー
おそらく 「P_1・・・P_(n-1)Aの元bでP_nに含まれない」 のミスプリではないかと思います。 （bはP_1・・・P_(n-1)A⊂A の元） P_nは素イデアルですから 「P_1・・・P_(n-1)がP_nに含まれない」 かつ「AがP_nに含まれない」 ⇒ 「P_1・・・P_(n-1)A は P_n に含まれない」 が言えます。 （対偶をとれば， P_1・・・P_(n-1)A⊂P_n ⇒ P_1・・・P_(n-1)⊂P_n または A⊂P_n ）
お礼
わたしもちらっとｂを取る際にＡがつくのではというのが頭の片隅に浮かんだことを思い出します。 明解な論理よくわかりました。どうもありがとうございました。