因数分解について教えて下さい。

質問

数学が苦手な中3です。
因数分解でわからないところがあります。

[x^2+2ax+a^2とx^2-2ax+a^2の公式]という項目にある

「x^2+6x+9を因数分解しなさい」という問題はなんとか理解できたのですが、
「4x^2-12x+9を因数分解しなさい」という問題が理解できません。
答えには、
4x^2-12x+9
=(2x)^2-2×3×(2x)+3x^2
=(2x-3)^2
とあるのですが、なぜこうなったのか全く理解できません。
解き方を教えて下さい。

それと、因数分解の「式の利用」というところの、
問１「次の■に当てはまる数を書き入れ、計算の答えを求めろ」
　　101^2=(100+1)^2
　　 =100^2+2×■×■+■^2
　　=■

問２「情報公式や因数分解を利用して、次の計算をしろ」
　　(1)99^2
(2)51×49
(3)81^2-80^2

の解き方がわかりません・・・。

最後に、「6、7、8のような連続する3つの整数では、中央の数の2乗から1をひいた差は、残りの2数の積に等しくなる。このことを証明しろ」と言う問題は、単純に
7^2-1=48
6×8=48
よって、中央の数の2乗から1をひいた差は、残りの2数の積に等しくなる。
これで良いのでしょうか？

ご教授のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞
「4x^2-12x+9を因数分解しなさい」という問題が理解できません。
答えには、
4x^2-12x+9
=(2x)^2-2×3×(2x)+3x^2
=(2x-3)^2
とあるのですが、なぜこうなったのか全く理解できません。

ａ＝２ｘ　と置けば、４ｘ^2＝ａ^2　であり、１２ｘ＝６ａ　です。
よって、
４ｘ^2　－　１２ｘ　＋　９　＝　ａ^2　－　６ａ　＋　９
　＝　（ａ　－　３）^2
　＝　（２ｘ　－　３）^2

＞＞＞
問１「次の■に当てはまる数を書き入れ、計算の答えを求めろ」
　　101^2=(100+1)^2
　　 =100^2+2×■×■+■^2
　　=■
１００＝ａ、　１＝ｂ　だと思って、
（ａ　＋　ｂ）^2　を考えてみてください。

＞＞＞
問２「情報公式や因数分解を利用して、次の計算をしろ」
(1)99^2　　これは、ａ＝１００、ｂ＝１　として、（ａ－ｂ）^2
(2)51×49　　これは、ａ＝５０、ｂ＝１　として、（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ^2－ｂ^2
(3)81^2-80^2　＝　（８１＋８０）（８１－８０）＝（８１＋８０）×１　
この（１）～（３）のように、乗法公式を使えば、計算が非常に簡単になる場合があります。

＞＞＞
最後に、「6、7、8のような連続する3つの整数では、中央の数の2乗から1をひいた差は、残りの2数の積に等しくなる。このことを証明しろ」と言う問題は、単純に
7^2-1=48
6×8=48
よって、中央の数の2乗から1をひいた差は、残りの2数の積に等しくなる。
これで良いのでしょうか？

ダメです。
「6、7、8のような連続する3つの整数」と言われているのですから、
６，７，８の場合だけを示すのでは不十分です。

３つの連続する整数を、ｎ－１、　ｎ、　ｎ＋１　と置きましょう。

中央の数の2乗から1をひいた差は、ｎ^2－１　です。
残りの2数の積は、（ｎ－１）（ｎ＋１）　です。
あとは、超簡単です。

がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。

わかりやすい解説ですね。
おかげで解くことが出来ました！

ありがとうございました！

回答No.3

noname#231526

大体回答は出そろっているようですが、最初の (x ± a)^2 の公式のところは、公式の応用版として、
(ax ± b)^2 = (a^2)x^2 ± 2abx + b^2
という公式を追加して覚えておいた方が応用が利くと思います。
この公式の a=1 の場合が最初の公式です（bがaに置き換わりますけど）

後ろの応用問題は、これらの公式と (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 の公式をたくさん使いますね。この和差の積の公式は応用範囲が広いので、使いこなせるようになっていた方が後々役に立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。

その公式、使えますね！
覚えておきます。

ありがとうございました。

回答No.2

unchikusai

1,4,9,16,25…は平方数と言って、1×1,2×2,3×3,4×4,5×5…のように
同じ数同士を掛けた積です。

　(以下 ^ を省略します。）
4x2-12x+9の4、9は平方数ですから、
=(2x)2-2*6+3*3と変形できます。
ですから
=(2x-3)2と変形できるのです。

問１．
101^2=(100+1)2
=100*100+2*100*1+1^2
=10201

問２.
(1)99^2=(100-1)2 　　99=100-1だから
=100*100-2*100*1+1^2
=9801

(2)51×49=(50+1)(50-1) (x+y)(x-y)=x2-y2の式を利用
=50^2-1
=2499

3)81^2-80^2=(81+80)(81-80) x2-y2=(x+y)(x-y)　上の式の逆です
=161*1
=161

最後は
連続する3つの整数は、n-1,n,n+1で表されます。
n2-1=(n-1)(n+1)より
よって中央の数の2乗から1をひいた差は、残りの2数の積に等しい。

お礼

回答ありがとうございます。

答えまで感謝します。
おかげで理解出来ました！

ありがとうございました。