因数分解について、

質問

因数分解について、
高校数学で因数分解、例えばx^2+（a+b）x+ab＝0のとき、（x－a）（x－b）＝0となりこの式の解が、x＝a,bとなりますが、これはなぜですか？
まず0の定義がわかりません。
0の定義はc+0＝cと定義することは知っています。
c×0＝0という掛け算の定義も必要な気もします。
どれが定理でどれが定義だかよくわかりません。
どなたか教えてください。m(_ _)m

回答No.6

yougamaster · ベストアンサー

ざっくりと申し上げると、
１、定義とは　人が勝手に作ったルール、取決め
２、定理とは　公理や定義から導き出され、正しいと証明されたもの
３、ちなみに公理とは　明らかに正しいこと
です。

例として、
１では　１以外の自然数で、1とそれ自身以外には約数をもたない数を素数という
２では　ピタゴラスの定理　　なんかは有名ですよね
３では　任意の2点について, これを結ぶ直線が引ける　　　
ということなどが挙げられます

人が勝手に作った、正しいと証明された、明らかに正しい　というキーワードを頭に置いて、1から３のどれにあたるか判断すると良さそうです。

さて、0の定義とは、「何もないことを表す数であり、1の直前の整数」であり、人間が勝手に決めたものということになるでしょう。

次に０の掛け算を考えると
足が2本ある鳥が３羽いるとき足の数の合計は
２×３＝６　です
鳥が０羽いるとき足の数の合計　２×０は　
鳥がいないと言ってるのと同じ意味ですから　０
つまり　２×０=０　です

足がない蛇が２匹いるときの足の数の合計は同様に考えて
０×２=０

c×0＝0　0×c＝0は
0を何もないことを表す数　と定義することにより派生した決まり事と言えると思います。

よって
（x－a）（x－b）＝0　ならば
0×（x－b）＝0　または（x－a）×0＝0　のはずですから
x－a＝0　または　x－b＝0

x=a or x=b
となるわけです。

ちなみに、
x^2+（a+b）x+ab＝0　では、左辺を因数分解すると
(x+a)(x+b)=0　で
X=-a,-b

これらをもとの式のxに代入してみると等式が成り立つこと確認できます。

お礼

今はなんとなくの理解で大学入ってからしっかり勉強しようと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

tmppassenger

難しいね。

私の正直な感想としては、「高校の段階ではそこまでの細かい事は気にせずにやってほしい」というところです。高校の段階でこういう所を気になりだして、結果どつぼにはまるより、今は「まあそういうもんなんだろう」と思って取り敢えず学習を進めたほうが、後（というのは大学に入ってから）で改めてこの辺を議論する場面に出くわした時、「ああ、あれはこういうことだったのか」と理解が進むものです。

で、少しだけ詳しく書くと、実数全体の集合や有理数全体の集合のように、加算、減算、乗算、0を除く元による除算が定義されて、ある種の法則がなりたつような「世界」のことを、大学の数学では「体」（たい）といっています。「体」の公理の中には、例えば「0」「1」という（特別な）元がある、とか、その0という特別な元はa+0=0+a=aを満たす、とか、ab = 0→a=0又はb=0 というものも含まれます。
大学の数学では、実数全体の集合を「きちんと作り上げていって」、そうして作り上げた実数全体の集合が実際に「体」の公理をきちんと満足していることを、ひとつひとつ丁寧に確認します。
で、具体的に「体」の公理は何か、というのを挙げることはできますが、敢えてしません。

で、わざわざ「体」という概念を導入するからには、当然「体」でない世界もあるわけで、言葉だけ書いておくと「整域でない可換環」（というのが何なのかは敢えて説明しません）の世界では、a≠0, b≠0かつ ab=0となるようなこともありえます。

で、繰り返しになりますが、実数全体や有理数全体は「体」といわれるものの公理をきちんと満たしていて、高校では「体」とは何かとかは全然説明しませんが、その辺は後で大学にはいって勉強すればよいという立場でやっています。で、ab = 0→a=0又はb=0 というのは、「今まで整数の世界でやってきた時はそうだったし、まあわかるでしょ？」という立場です。

元々の質問に関しては、
> （x+a）（x+b）＝0となりこの式の解が、x＝-a, -bとなりますが、これはなぜですか？
（符号訂正しました）
一般に実数の世界では、 pq = 0→p=0又はq=0だから。これがなぜか、ということをきちんと説明するとなれば、実数の定義とかをしないといけなくなり、それは大学の範囲だから、そこまでは説明しない。

> まず0の定義がわかりません。
>どれが定理でどれが定義だかよくわかりません。
今はきにせずやってほしい。そういうところを気にしだしてどつぼにはまってほしくない。

お礼

ベストアンサー付け間違えました。
こちらがベストアンサーですm(_ _)m

回答No.4

nanashisan_

では、これがわかりますか。
AX=0 (ただし、A≠0)
Xは？

補足

A×0＝0と定義するならA×X＝0のとき、X＝0です。

回答No.3

asuncion

もうちょい補足すると、
2次方程式を解くときに因数分解が使える「ことがある」ということ。
くだんの例はまさに典型。両者をゴッチャにしないこと。

回答No.2

asuncion

符号が違ってる。
x^2 + (a + b)x + ab
なら、
(x + a)(x + b)

また、因数分解と2次方程式を混同している。
x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
因数分解はここまで。
x^2 + (a + b)x + ab = 0
という2次方程式を解くというのは、
(x + a)(x + b) = より、
x + a = 0, またはx + b = 0
よってx = -a または x = -b

回答No.1

maiko0333

掛けて０になるということはどちらかまたは両方が０のときに限られます。
よって
(x-a)(x-b)=0なら
(x-a)=0 か(x-b)=0になります。

定義や定理ではありません。

補足

なぜ0をかけると0になることが整合性を持って成り立つのかがいまいちわからないです。
定義でも定理でもなかったらなんでしょうか？
公理でしょうか？