文字式の因数分解の可能性について

質問

文字式　x^2+x　は因数分解できますね。

　ａを整数の定数とするとき、

　x^2+x+a　が因数分解可能である　ａ　を見つける

　という問題を中学生に説明するにはどのような方法がありますか？

回答No.7

staratras

今の中学生にわかってもらえるかどうかはわかりませんが、愚直に解いてみます。

x^2+x+a=(x+p)(x+q)　と　因数分解できたとします。(p,qは整数)
右辺を展開するとx^2+(p+q)x+pq となり、左辺と係数を比較すると
p+q=1 かつ　pq=a
qを消去するとp(1-p)=a つまりp^2-p+a=0
これをpについての2次方程式と見て解くと
p=(1±√(1-4a))/2 , q=(1∓√(1-4a))/2 （複号同順)
ただし因数分解した結果を求めるにはp,qの複号の上だけでよい。

ここでp,qが整数になるのは(1-4a)が奇数の2乗のときである。

1-4a=1^2 のとき　a=0 　(p,q)=(1,0) 　与式=(x+1)x
1-4a=3^2 のとき　a=-2 (p,q)=(2,-1) 与式=(x+2)(x-1)
1-4a=5^2 のとき　a=-6 (p,q)=(3,-2) 与式=(x+3)(x-2)
1-4a=7^2 のとき　a=-12 (p,q)=(4,-3) 与式=(x+4)(x-3)
1-4a=9^2 のとき　a=-20 (p,q)=(5,-4) 与式=(x+5)(x-4)
…以下同様に無限に続く…

お礼

ありがとうございます。

解の公式と無理数を既習で、理解している場合には、

前提の順に考えさせるいい方法ですね。

回答No.6

178-tall

中学生に説明して判ってもらえる否かは別にして、も少し直接的なアプローチ…。

まず題意。
　x^2 + x + a = (x+s) {x+(1-s) }　　…(1)
からスタート。
これで、ターゲットは
　s(1-s) = a　　…(2)
に絞られた。

(2) にて整数値 s を正負にスキャンすると、s=0, 1 の前後で偶対称。
その一方、たとえば s=1 から整数値を正の方角へスキャンしていけば、題意を満たす a が得られる模様。

お礼

なるほど、この説明は、言葉を考えて説明すれば、ある規則にのっとった解（答え）が

無数に存在する・・・・という説明につながりますね。

回答No.5

178-tall

中学生に説明しても判ってもらえないでしょうけど…。

>> s^2 - as + a = 0
>という式はどこから導けますか？

>題意は、
>　s+t = 1
>　st = a
　　↓
これから t を消去すれば出る。

補足

ありがとうございます。

そうでしたら

＞s^2 - as + a = 0
ではなく、
s^2 - s + a = 0
ではないでしょうか？

回答No.4

178-tall

>ａを整数の定数とするとき…

　　　　↑

条件がこれだけだと、a は (零を含む) 負の整数。

因数分解後も整数、という条件を追加すれば、けっこうメンドくなりますネ。

補足

ご回答ありがとうございます。

中学生ですので、因数分解はもちろん整数定数の範囲です。

回答がいろいろあることを、無数にあるだけではなく、
aがどのような整数になるかということを、
どのように説明されますかという意味です。

回答No.3

178-tall

中学生に説明して判ってもらえる否かは、ヨウ判りませんけど…。

題意は、
　s+t = 1
　st = a
を満たす「実数」ペア {s, t} 。

たとえば両式から、
　s^2 - as + a = 0
を得られるらしいから、もし a≦1/4 なら、そんなペア {s, t} が存在するのでしょうネ。

補足

ありがとうございます。

中学生を相手としますので、

因数分解は、整数係数の範囲で可能な場合についてです。

> s^2 - as + a = 0
という式はどこから導けますか？

回答No.2

qwe2010

X^2＋X＋a

（X＋C）（X＋D）＝X^2＋（C＋D）X＋C×D

これで判るのが、（C＋D）は１である。
C×Dは、aです。

この場合aがプラスの場合と、マイナスの場合があります。

プラスの場合はC,D,どちらもマイナスか、どちらもプラスです。
しかしマイナスの場合はC＋Dがプラスの１になりません。
だからC＋Dはどちらも１以下のプラスの数字になります。

aがマイナスの場合、CとDどちらかがプラス別の方がマイナス、たすと、１になる数字です。

お礼

回答ありがとうございます。

＞しかしマイナスの場合はC＋Dがプラスの１になりません。
＞だからC＋Dはどちらも１以下のプラスの数字になります。

のところが、わかりにくいですが・・・・・

回答No.1

asuncion

x^2 + x + a = (x + s)(x + t)
と因数分解できるとする。
右辺を展開すると
x^2 + (s + t)x st
となるから、x^2 + x + aが因数分解できるためには
s + t = 1であるような(s, t)の組を見つければよい。無限に存在する。

お礼

ありがとうございます。

＞x^2 + (s + t)x st　
は　x^2 + (s + t)x ＋st　ですね。

＞(s, t)の組を見つければよい。無限に存在する。
の部分は、中学生向けにもう少し噛み砕くとどうなりますか？