余剰の定理を用いた因数分解

質問

例えば、
2x^3 +x^2 +7x -4 = 0
の因数を(x-α)とし、余剰の定理を用いて因数分解しようとするとき、定数項の整数の約数の中に、αはありません。そんな時は、
±(定数項の約数) / (最高次数項の係数の約数)

でαが求められます(「求めることができることがある」が正確?)が、なぜこれで求めることができるのでしょうか？
一見、最高次数項の定数項の約数と、定数項の約数にはなんの関係もないように思えます。よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

例では
2x^3+x^2+7x-4

　=(2x-1)(x^2+x+4)

　=2(x-1/2)(x^2+x+4)

(x-1/2)=(x-α)の
　α=1/2
がどこから来たか考えてみて下さい。

αの分子の1は
定数項「-4」の約数「4,2,1」の中の１つ（それに符号を付けたもの）からきたもの

αの分母の2は
最高次（3次）の係数「2」の約数「2,1」の中の１つからきたもの

と考えれば良いでしょう。

つまり、αの候補は
±(定数項の約数) / (最高次数項の係数の約数)
の形になります。
今の例のαの候補は
1/1=1,1/2,2/1=2,-1,-1/2,-2,4/1,-4
ですね。

お分かりでしょうか？

お礼

info22さん、先日はとても分かりやすく説明していただいて本当にありがとうございました。

αの分子(または分母)は、なぜ定数項の約数(または最高次の係数)の約数から、来るのでしょうか？

ax^3 +bx^2 +cx^ +d = (x - α)(ex^2 + fx + g)
となるとすれば、
(右辺) = ex^3 +(f -αe)*x^2 +(g -αf)*x -αg
となり、左辺と右辺の最高次と定数項の関係は
i) a = e
ii) -αg = d
となって、(i)と(ii)の間、つまり最高次の係数と定数項の間にはなんの関係もないように思えます。
多分eとgがどこからきた数なのかを考えて別の形であらわせれば、i)とii)からαが求められるのでしょうが、そこまで考えが及びません。

回答No.3

info22

#1です。

A#1の補足の疑問
少し考えすぎです。

左辺が整数係数の多項式であること。
(x-α)という因数を持ち,αが分数であること。

が前提条件になっています。

多くの出題問題ではこの条件があてはまる問題が多いです。
（言い換えれば、たすきがけ法による因数分解の拡張のようなもの）
αが分数にならない例外もあるのでαのルールが適用できない場合もあることは忘れていけないです（この場合は諦め、左辺の関数の増減表を作ってグラフを使って考えることです。）。

αの候補は、あらゆる可能性のある分数候補を含んでいないといけません。漏れがあるようでは因数を見逃してしまう。
左辺の多項式の最高次の係数（整数）をaとすると

(x-α）を考える場合　aとセットにした
a(x-α)
で考えないといけません。つまり
(ax-aα)
としたとき、aαが整数である必要があります。
　12(x-1/6)=(12x-2)=2(6x-1)
12(x-2/3)=(12x-8)=4(3x-2)
など。

なお、a(x-α)を括り出した残りの式が最高次の係数は
aが括り出してあるので、もちろん1です。
この残りの式はとりあえず考えなくても良いです。
次の(x-β)を括り出すときに考慮すれば良いでしょう。

お礼

なんとなく理解できました・・・！
ところで補足の疑問なのですが、下のページでちょうど同じことをしている方がいて、なぜチンプンカンプンな答えが出るかが判明しました！
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-306.html

ax^3 +bx^2 +cx^ +d = (x - α)(ex^2 + fx + g)
↓
<訂正前と同じ> = (hx + α)(<訂正前と同じ>)
※αの±は、αが実数全体を表しているので(αが正も負も取りうるので)重要でない

結局、値が一つ抜けていたことが原因でした。
また、グラフを作って求めるという発想はなかったので勉強になりました！本当にありがとうございますっ！！！

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

まず、
> ±(定数項の約数) / (最高次数項の係数の約数)
> でαが求められます(「求めることができることがある」が正確?)

というのは、非常に特殊なケースでのみ言えることです。

それは、

・与えられた式の係数が、概ね整数で
・αも、整数か簡単な分数

になるように、「問題が作られている」からです。

さて、一般的に書けば、

ax^3 + bx^2 + cx + d = ... (1
a(a/ax^3 + b/ax^2 + c/ax + d/a) ... (2
と変形ができます。

つまり、問題の α は、(2 も、ゼロにします。

(2 を書き直すと、この (x - α) は、
x^3 + b/ax^2 + c/ax + d/a
の因数でもあることがわかります。

このとき、お書きになった ii) と同様に、

－αg = d/a であることがわかります。（最高次の係数は 1）

つまり、α に何か（g）をかけたものが、d/a であるという
わけです。
ただ、具体的に、g がわからないのですが、例えば、g = Ga / Gb と
かけると仮定すると、

－α(Ga/Gb) = d/a
つまり、
α = (d/Ga) / (a/Gb)
とかけます。

これが、「きりの良い数値」となるためには、
d/Ga や a/Gb も「きりの良い数値」であることになります。
そして、（割り切れたとすれば） d/Ga は、dの（定数項の）約数
a/Gb は、a の（最高次の係数）の約数となります。

お礼

回答ありがとうございます！なんとか理解できたかもしれません・・・。

『お書きになった ii) と同様に、』
という言葉で、自分の考え方が基本的に間違っていないことが確認でき、最終的に納得できる答えを見つけることが出来ました！ありがとうございます！！！
(しかし、こういった問題は、はたして解く意味があるのかどうか、疑問です><)