数１ 因数分解の問題です

質問

因数分解の問題ですが、どのように解いていけばよいのかわかりません。
どなたか教えていただけませんか。よろしくお願いします。

次の式を因数分解せよ。
(a^2 + a) x^3 + ( 2a +1) x^2 －ax － 1

回答No.2

f272 · ベストアンサー

よくわからないときは次数の低い文字について整理します。今の場合にはaについては2次式です。
(a^2 + a) x^3 + ( 2a +1) x^2 －ax － 1=(x^3)a^2 + (x^3+2x^2-x)a +x^2 - 1
a^2の係数はxとx^2に分解されるし，定数項はx+1とx-1に分解されます。それぞれを掛け合わせて加えるとaの係数になるかどうかを考えます。
x(x+1)+x^2(x-1)=x^3+x
x(x-1)+x^2(x+1)=x^3+2x^2-x
どうやら2回目のトライでうまくいきました。
したがって
(x^3)a^2 + (x^3+2x^2-x)a +x^2 - 1＝((x)a + (x+1)) ((x^2)a + (x-1))
普通の書き方に戻します。
((x)a + (x+1)) ((x^2)a + (x-1))＝((a+1)x +1) (ax^2 + x-1)
ax^2 + x-1はこれ以上因数分解できないことを確認して，((a+1)x +1) (ax^2 + x-1)を答えにします。

お礼

丁寧に教えてくださりありがとうございました。よくわかりました！
次数の低いもので整理するのは、なるほどそうだったのかと思いました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#215361

「因数分解せよ」ということは、「必ず因数分解できる」ということなので、あらゆる角度から考えてみます。（解けないよりは解けた方がいいという苦肉の策）

与式は、xについての3次式なので、1次式と2次式（場合によっては1次式と1次式の積）の積で表される筈である
x^3の係数は、a^2+a=a（a+1）と因数分解でき、最後の-1は1*（-1）であるから、結果として次の4つの候補が予想できる（bは仮においた数）
(1)（ax+1）｛（a+1）x^2+bx-1｝
(2)（ax^2+bx+1）｛（a+1）x-1｝
(3)（ax-1）｛（a+1）x^2+bx+1｝
(4)（ax^2+bx-1）｛（a+1）x+1｝

(1)を展開して整理すると、
a（a+1）x^3+（ab+a+1）x^2+（b-a）x-1
これを与式と比較すると、
xの係数は、-a=b-a→b=0
x^2の係数は、2a+1=ab+a+1=a+1となって不適

(2)(3)についても、同様に考察して不適

(4)を展開して整理すると、
a（a+1）x^3+（a+ab+b）x^2+（b-a-1）x-1
これを与式と比較すると、
xの係数は、-a=b-a-1→b=1
x^2の係数は、2a+1=a+ab+b=2a+1となって適
（運が良ければ1番目で適）

よって、与式=（ax^2+x-1）｛（a+1）x+1｝
または、与式=｛（a+1）x+1｝（ax^2+x-1）

お礼

教えてくださりありがとうございます。いくつかの候補を予想する方法は、今まで解いたことがなかったです。勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

178-tall

(a^2 + a) x^3 + (2a +1)x^2 - ax － 1 = P(x)

簡潔な低次部分に着目して、「ボトム・アップ方式 ？」。

まず、低次部分和 Q(x) から、
　Q(x) = { (a+1) x + 1 } (x-1) = (a +1) x^2 - ax － 1　… (1)

　P(x) - Q(x)
　= (a^2 + a) x^3 + ax^2
　= ax^2 { (a+1) x + 1 }　　　… (2)

(1) と (2) に共通因数を待たせることに成功。

　P(x) = { P(x) - Q(x) } + Q(x)
　= ax^2 { (a+1) x + 1 } + { (a+1) x + 1 } (x-1)
　= { (a+1) x + 1 } (ax^2 + x - 1)

お礼

教えてくださりありがとうございます。ボトムアップ方式は、はじめて教えてもらう方法でした。もう少し勉強して使えるようにしたいです。ありがとうございました。