ベストアンサー 1+1/(2*2)+…+1/(n*n) 2012/10/14 00:37 自然数nに対して 1+1/(2*2)+…+1/(n*n)の値の計算方法を教えてください。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー ereserve67 ベストアンサー率58% (417/708) 2012/10/14 01:02 回答No.1 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0 ポリガンマ関数ψ(z)を使ってかけます． 1+1/2^2+…+1/n^2=π^2/6-ψ^{(1)}(n+1) 質問者 お礼 2012/10/14 20:20 簡単ではないということがよくわかりました。 ありがとうございました。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A n(n+1)(2n+1)/6の変形 いつも大変お世話になります。 さて、標題に関し、どおしてn(n+1)(2n+1)/6が、6/1（1+1/n)(2+1/n)になるのでしょうか？ 計算方法など、こと細かく、ご指導願います。 lim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n lim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n この計算はどう解けばいいのでしょうか？ Σの部分の計算ド忘れしてしまいました。 Σr^n=r(r^n-1)/(r-1) Σn=n(n+1)/2 は覚えてますが、確か中身が掛け算されてるのってΣとΣで分解できないですよね？ つまり、Σf(x)*g(x)≠Σf(x)*Σg(x)ですよね？ 計算に躓いてこまってます。よろしくお願いします。 n^n +1が３で割り切れるもの 「(1)正の整数ｎでn^3 +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ (2)正の整数ｎでn^n +1 が３で割り切れるものをすべて求めよ」 (1)なのですが、n=3k、n=3k+1、n=3k-1のときに分けて計算したところn=3k-1すなわちnが3で割って２余るときが適することがわかりました。しかし「すべて」求めるという問題文からするとダメなのかな？と思ったのですがどうなのでしょうか？ (2)なのですが、(1)と同じようにできそうかなと思ったのですがなかなかうまくいきませんでした。(1)を利用するということはできるのでしょうか？ 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム n(n+1)(2n+1)/6の変形 いつも大変お世話になります。 さて、標題に関し、どおしてn(n+1)(2n+1)/6が、1/6（1+1/n)(2+1/n)になるのでしょうか？ 計算方法など、こと細かく、ご指導願います。 微分積分の本に載っていたのですが・・・・ ( n(n+1)(2n+1) )/6 の証明について 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = ( n(n+1)(2n+1) )/6 の証明についてです 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) =(n+1)^3 -1 -(3n(n+1))/2 -n =(n+1)^3 - (3n/2)(n+1) - (n+1) <<このあたりの計算は中略>> =(n+1)((1/2)n(2n+1)) ∴ ( (n+1)((1/2)n(2n+1)) )/3 =( n(n+1)(2n+1) )/6 よって 1^2 + 2^2 + ... + n^2 =( n(n+1)(2n+1) )/6 こんな出だしの証明になっているのですがどうでしょうか？ いきなり全体に３をかけて 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) という出だしになっていますが、これでもＯＫでしょうか？ どうぞアドバイスよろしくお願いいたします。 (n^2+2n) * ｛(3n^2+n)/2｝=? (n^2+2n) * ｛(3n^2+n)/2｝と言う計算なのですが、 左側の項は分母を/2にして、右側と合わせるのですか？ こういう場合のやり方を忘れてしまって… a[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n a[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n+3^(n-1) で、 Σa[k](k=1～n)を最大にするnの最小を求めよ。 まず、一般項a[n]=-3^(n-2){n^2-2n-3)/4 を求めました。 このあとΣの値を求められません。 よろしくお願いします。 Σ １ / n(n＋１）（n＋２）の極限値？ (1) ∞ １ Σ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 極限値？ ｎ＝１ n(n＋１）（ｎ＋２） . .. (2) ０．９９９・・・＝１であることを示し、０．７＋０．４５の値？ うまく数字と記号が入力できませんでしたがよろしくお願いします。 微分積分学２８講 の中の問題です ６分の１n(n＋1)(2n＋1)-2n(n＋1) ６分の１n(n＋1)(2n＋1)-2n(n＋1)が何故６分の１n(n＋1){(2n＋1)-12}になるのかが分かりません。回答お願いします！ f(n)=(1)^n+(2)^n+(3)^n+(4)^n nは自然数 f(n)=(1)^n+(2)^n+(3)^n+(4)^n f(n)を5で割った余りをr(n)とする。 (1)r(n)は g(n)=(1)^n+(2)^n+(-2)^n+(-1)^n を5で割った余りと等しいことを示せ。 (2)r(n)=0を満たすnをすべて答えよ。 (1)は f(n)-g(n)=5t と置いて、数学的帰納法で解くのが良いのでしょうか？ f(n)-g(n)=(3)^n+(4)^n-(-2)^n-(-1)^n=5t n=1のとき f(n)-g(n)=3+4+2+1=10 → OK n=kの時成立すると仮定して n=k+1の時 (3)^(k+1)+(4)^(k+1)-(-2)^(k+1)-(-1)^(k+1) =(3)^(k+1)+4{5t-3^k+(-2)^k+(-1)^k}-(-2)^(k+1)-(-1)^(k+1) =-3^k+20t+6(-2)^k+5(-1)^k ここで -3^k+6(-2)^k を帰納法で5の倍数と証明して f(n)-g(n)=5t と証明できる。 他の証明方法はないのでしょうか？ (2)はどのようにすればよいか分かりません。 教えてください。 お願い致します。 ２次方程式の解、α^n+β^n α^n+β^nを、α＋βとαβだけで表せず、困りました。 問題は、 ２次方程式 x^2+x+1=0の２つの解をα,βとする。次の問にこたえよ。だたしnは整数とする。 (1) nが３の倍数のとき、α^n+β^nの値を求めよ。 (2) nが３の倍数のでないとき、α^n+β^nの値を求めよ。 というものです。 α＋β=-1,αβ=1までわかったのですが、 α^n+β^n=(α＋β){α^(n-1)-α^(n-2)*β・・・+β^(n-1)}を使った解き方や、 α^2+α+1=0,β^2+β+1=0を使う解き方を、考えようとしたのですが、うまくいきません。 高次方程式や、複素数と方程式の範囲で、解き方を教えてもらえるとありがたいです。どなたかお返事お願いします。 1/2*3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)/2(n+1)(n+2)=??? (1)1/2*｛3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)｝/2(n+1)(n+2)= (2)(3n^2+5n)/4(n+1)(n+2) なのだそうですが… 自分で紙に書いて計算しても(2)になりません。 (2)になるまでを詳しく書いてください。 3(n+1)(n+2)-2(n+1)(n+2)として計算したのですが… 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 【対数】log(2)n=n-1となるnを求める問題 はじめまして。 題の通りなのですが、nを自然数とするときにlog(2)n=n-1を満たすnの値は求められますか？ 2^(n-1)=nと変形はしたのですが、ここから動きません 数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1 数列{a_n}、{b_n}が、a_n=s^n, b_n=r^n(n=1,2,3,,) ０＜s＜r＜1 で与えられている時、 Σ∞_(n=1) a_(n)b_(n) = 1/3 , Σ∞_(n=1) a_(n)/b_(n) = 3 を満たすとする。この時、s+rの値を求めよ 無限級数 S(n=1,∞)1（n^n）の値について 知人から相談を受けた問題で興味があったのでちょっと考えてみましたが、 値にまでは至りませんでした。 S(n=1,∞)1（n^n）というのはnのn乗の逆数の総和です。 S(n=1,∞)1（n^n）=1+1/(2^2)+1/(3^3)+1/(4^4)・・・=1/2+1/2+1/(2^2)+1/(3^3)+1/(4^4)・・・ <1/2+(1/2+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)・・・)=1/2+π^2/6 なので比較定理により収束することは分かるのですが、その値は出せませんでした。 岩波全書にある数学公式集２のP29からを調べてみましたが、この級数は載っていませ んでした。値はだせるのでしょうか？ よろしくお願いいたします。 Σ[n=0..∞](A^4n)/((n!)^2*(2n!))の和は? Σ[n=0..∞](A^4n)/((n!)^2*((2n)!))の和は? Σ[n=0..∞](A^4n)/((n!)^2*((2n)!))の和が分かりません。。。 マクローリン展開かと思ったのですが、階乗同士の掛け算があったりで、混乱しています。ちなみに、Aは定数で、ある値が入ると考えていただいて結構です。 よろしくお願いいたします！ 1^2+2^2+3^2+・・・＋ｎ^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^2+2^2+3^2+・・・＋ｎ^2=n(n+1)(2n+1)/6 となりますが、これを図形を用いて証明することはできないのでしょうか？ どなたかよいアイディアがあれば教えてください。 （１＋１／ｎ）＾ｎを実際にいろいろなｎについて計算し、ｎ→∞での極限値 （１＋１／ｎ）＾ｎを実際にいろいろなｎについて計算し、ｎ→∞での極限値と比較してみよ。 という問題なのですが、実際にｎにいろいろな数字をいれるとｎがだんだん大きくなるにつれてeに近づきました。 またlim（１＋１／ｎ）＾ｎ＝eになります。 なので （１＋１／ｎ）＾ｎを実際にいろいろなｎについて計算すると、ｎが増えていくほど、eに近づき、すなわち、ｎ→∞の極限値に近づいていくが、一致することはない。 で、答えになりますか、でも、「一致することはない。」が完全にいえないので少し悩んでいます。 教えてください。 Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和は? Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を判定し,収束ならその和を求めよ。 という問題です。 これは交項級数なので数列{5^n/(2n)!}が単調減少且つlim[n→∞]5^n/(2n)!=0より (∵比を採ると5^(n+1)/(2(n+1))!/5^n/(2n)!=2/((2n+2)(2n+1))で単調減少且つ極限値が0) Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束。 となるのかとと思いますが和はどのように求めればいいのかわかりません。 どのようにして求めれるのでしょうか? {√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4 n → ∞のとき、 {√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4 また、n → ∞のとき、 {√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8 らしいのですが、証明がかいてありませんでした。 どうか証明を教えていただけないでしょうか。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
簡単ではないということがよくわかりました。 ありがとうございました。