位相空間における連続写像の条件について

質問

(X,T),(Y,U)を位相空間とし、fをXからYへの写像とする。

このとき、Xの部分集合Aに対し、f(cl(A))⊂cl(f(A))ならば、
fが(X,T)から(Y,U)への連続写像であるといえますか？

※cl(A)はAの閉包を示す。

回答No.1

OurSQL · ベストアンサー

X の「任意の」部分集合 A に対し、f ( cl ( A ) ) ⊂ cl ( f ( A ) ) ならば、連続写像だといえます。
逆も成り立ちますね。
証明は、位相空間が半分、集合論が残りの半分、といった感じです。

お礼

ありがとうございます。

証明は自分で考えてみます。