位相空間のコンパクト化の問題で困っています。

質問

最初に問題と回答を写します

(X,〇)、(X',〇')、(X'',〇'') をそれぞれ 〇, 〇', 〇''を開集合系とする位相空間
f:X→X' g:X'→X'' を連続写像とする

問:Y⊂X がコンパクトであるとき ｆ(Y) がコンパクトになることを証明せよ

答:ц={U(λ)|λ∈Λ} を f(Y) の開被覆とすると
f が連続写像であることより
ц'={f^(-1)・(U(λ)) |λ∈Λ} は Y の開被覆となる
Y はコンパクトであるから,ある ц' の部分被覆
{f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))}
が存在する。このとき
{U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)}
が ц の部分被覆になるのは容易に分かるので f(Y) はコンパクト ■

この最後のところで、どうして {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が
цの部分被覆になるのかが分からないので教えて欲しいです。

よろしくお願いします。別解などありましたら歓迎です。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

任意のy∈f(Y)についてf(x)=yとなるx∈Yが存在する。
{f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))}
がYの被覆だから、あるλi があってx∈f^(-1)・(U(λi))、すなわち
y∈U(λi)。よって{U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)}はＹの被覆

お礼

納得できました！模範な回答ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

「容易にわかる」と書いてある時は大抵、落ち着いて順を追って考えれば分かります。

まずは「部分被覆」の定義を補足にどうぞ。

お礼

レスありがとうございます。
参考にさせてもらいます。