n次元半球面とn次元球体が位相同形であることの証明
こんにちは。tumftmkといいます。
位相についての質問です。
先日、教科書に次のような記述がありました。
Ａ＝｛（x1,x2,…,xn,xn+1）∈R^(n+1) | xn+1≧0 , (x1)^2+…+(xn)^2+(xn+1)^2=1 } （ｎ次元上半球面）
Ｂ＝｛（x1,x2,…,xn）∈R^n | (x1)^2+…+(xn)^2 ≦ 1 } (ｎ次元球体)
とする。
このとき、写像 ｆ を
ｆ ：Ａ→Ｂ、（x1,x2,…,xn,xn+1）|→ （x1,x2,…,xn） （射影）
とすると、これは同相写像である。
よってＡとＢは位相同形である。
このようにありましたので、「ｆは同相写像」をきちんと証明しようとしました。
ｆが全単射、ｆが連続 までは分かりました。
そしてε-δ論法を使ってｆの逆写像が連続になることを示そうとしましたが、うまく出来ませんでした。
（直感的には分かるのですが…）
ｆの逆写像を ｆ^(-1) とすると
ｆ^(-1) ：Ｂ→Ａ 、（x1,x2,…,xn,）|→ （x1,x2,…,xn, [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2) ）
となります。
ｆ^(-1) が連続 ⇔ 各成分が連続 なので、（ｎ+1）成分について考えて、
ｇ ：Ｂ→Ｒ 、（x1,x2,…,xn,）|→ [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2)
の連続性さえ示してしまえば証明が終了する、というところまでは分かりました。
（残りの成分については、射影になっているので連続であることは分かります。）
この g についてε-δ論法を使ってみたのですが、どのようにδをとればよいのかが分かりません。
どなたか分かるかたがいましたら解答よろしくお願いします。
