位相空間上の連続写像について

質問

(T,Ot),(S,Os)を位相空間とします。
A⊂Tに対してAは相対位相Oaによる位相空間、
B⊂Tに対してBは相対位相Obによる位相空間とします。

写像f:A→S、g:B→Sが連続写像であり、任意のa∈A∩Bについてf(a)=g(a)であるとします。

写像h:A∪B→Sを、
h(x)=f(x)(x∈A), h(x)=g(x)(x∈B)
と定めるときhが連続写像である事を示していただきたいです。

特に、a∈AかつaはBに属さないとき、写像hはaにおいて連続でしょうか？

自分の持ってる教科書の連続写像の定義は、
φ:(T,Ot)→(S,Os)が点a∈Tで連続。
⇔Φ(a)∈Uとなる任意のU∈Osに対して、あるV∈Ot,a∈Vが存在して、φ(V)⊂Uとなる。
と定めています。

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

要はXを位相空間、Y⊂Xとして、YにXから相対位相を入れた時、

◯ A⊂ YがYの閉集合 ⇔ あるXの閉集合 Bが存在し、A=B∩Yとなる

という事ですが、一度自分で証明してみてください。
というか、こことかに書いてありますけどね

https://math.jp/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%966%EF%BC%9A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8#.E5.91.BD.E9.A1.8C_6.6_.28.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E4.BD.8D.E7.9B.B8.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E9.96.89.E9.9B.86.E5.90.88.29

（うまくリンクが生成されないかもしれないけど、最後までコピペすれば表示できます）

お礼

回答者様のおかげで、やっと理解できました。

何度も回答してくれてありがとうございます。

とても感謝しています。

回答ありがとうございました。

回答No.3

tmppassenger

ついでに書いておこう。

一般に連続写像を「貼り合わせて」、一つの連続写像にしたい場合は、次の命題が使える：

http://www.f.waseda.jp/taniyama/lectures/twcu/pasting-maps.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Pasting_lemma

https://okwave.jp/qa/q10106999.html の場合は、[0,1/2]も[1/2, 1] も [0,1] の閉集合であるから、この貼り合せの命題の成立条件を満たす。

一方、この質問の反例で書いたものでは、
◯ 有理数全体、無理数全体ともに、実数体Rの開集合でも閉集合でもない
◯ 非負実数全体は閉集合であるが開集合でなく、一方負の実数全体は開集合であるが閉集合ではない
となっていて、この貼り合わせの命題の成立条件を満たさない。

お礼

具体例を出していただいたり、私の過去の質問にも解説してくれて、ありがとうございます。

紹介していただいたサイト

http://www.f.waseda.jp/taniyama/lectures/twcu/pasting-maps.pdf

を読んでいるのですが、少しわからないところがあり、質問します。

fの制限写像f|Aによる閉集合Fの逆像(f|A)^−1(F)がAの閉集合になる事はわかるのですがXの閉集合になる事がわからないので、教えていただきたいです。

一応自分なりに考えたのは、
(f|A)^−1(F)がAの閉集合よりこの補集合はAの開集合だから、Xのある開集合Oで、
((f|A)^−1(F))^c=A∩O
となると思います。

ですがAの開集合A∩Oは、Xの開集合とは限らないような気がします。
(例えばAがXの開集合でなくて、O=Xの場合A∩O=Aは、相対位相空間Aでは開集合)

回答No.2

tmppassenger

別の例
S, Tを実数体、Aを非負実数の集合、Bを負の実数の集合、f:A→Sをf(x) = 1, g:B→Sをg(x) = 0 とすれば、f, gは共に連続であるが、hはx=0で不連続である。

回答No.1

tmppassenger

これは成立しない。
S, Tを実数体、Aを有理数の集合、Bを無理数の集合、 f:A→Sをf(x) = 1, g:B→Sを g(x) = 0 と定めれば、f, gともに連続であるが、h はどの点でも不連続である。