{v_1,v_2,…,v_m}が線形空間Vの基底になっている事の証明ができません

質問

Let V be a finite dimesnsional space over R,with a positive definite scalar product. Let {v_1,v_2,…,v_m} be a set of elements of V, of morm 1, and mutually perpendicular (i.e. (v_i,v_j>=0 if i≠j). Assume that for every v∈V we have
∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2.
Show that {v_1,v_2,…,v_m} is a basis of V.

「Vを内積を持ったR上の有限次元線形空間とせよ。{v_1,v_2,…,v_m}をVの元の集合とし各ノルムは1で互いに直交しているものとする。∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2が成り立っている時,{v_1,v_2,…,v_m}はVの基底となる事を示せ」

が解けずに困っています。

今,∥v_1∥=∥v_2∥=…=∥v_m∥=1で<v_i,v_j>=0(i≠j i,j=1,2,…,m) なのでv_1,v_2,…,v_mは一次独立と分かります。
後は任意のv∈Vがv_1,v_2,…,v_mの一次結合で表せれれば{v_1,v_2,…,v_m}が基底である事が言えるのですが
∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2をどうしてもv=(v_1,v_2,…,v_m一次結合)と変形できません。
どうすれば変形できますでしょうか?

回答No.8

kabaokaba · ベストアンサー

>本当にすいません。どのようにして

自分で計算してないでしょ？
それに・・・簡単なケースで実験もしてないでしょ？
一般でわからなかったら，少ない個数でやってみるの．

v-<v1,v>v1-<v2,v>v2=0を示したい．
そして，材料が
|v|^2 = <v,v1>^2+<v,v2>^2
<w,w>=0 <=> w=0
だったら
< v-<v1,v>v1-<v2,v>v2, v-<v1,v>v1-<v2,v>v2 >
しか手はないと思う．
w=<v1,v>v1+<v2,v>v2として
< v-w, v-w >
= |v|^2 + |w|^2 -2<v,w>
= |v|^2 + |w|^2 -2(<v,v1>^2+<v,v2>^2)
= |w|^2 -|v|^2
そして，<v1,v2>=0, |v1|=|v2|=1より
|w|^2 = <v1,v2>^2 |v1|^2 + <v1,v2>^2 |v2|^2= |v|^2
おわり

お礼

遅くなりまして申し訳ありません。
漸く分かりました。
大変ありがとうございました。

回答No.7

kabaokaba

> v=<v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_mとはどうやって言えばいいのでしょうか?

簡単な，自明なケースで計算実験してみたら
すぐわかったでしょう？
いきなり一般論で考えてわかんないときは例をたくさん作るのです．

さて，一次結合ができたらそれが等しいこと，つまり
v と <v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_m（これをwとおく）
が一致することを示せばよい．
二つのものA,Bが等しいことを示すにはA-B=0を示すのが常套手段．
だから，v-w=0を示す
そして，内積の公理には，0が絡んでるのがあるはず．
ここまでいけば「後は式変形」だけ．

お礼

ありがとうございます。

> さて，一次結合ができたらそれが等しいこと，つまり
> v と <v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_m（これをwとおく）
> が一致することを示せばよい．
> 二つのものA,Bが等しいことを示すにはA-B=0を示すのが常套手段．
> だから，v-w=0を示す

v - <v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_mからどうしも0に持っていけません。

> そして，内積の公理には，0が絡んでるのがあるはず．

<v,v>=0⇔v=0の事ですか?

> ここまでいけば「後は式変形」だけ．

あと使える道具は∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2だけですよね。

本当にすいません。どのようにして
v - <v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_m=0を導くのでしょうか?

回答No.6

kabaokaba

・・・幾何的な意味も実際はわかってないのかな

∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2

この式がピタゴラスの定理だってことに気がつきませんか？

簡単なケースで調べるってのは，R^3で
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1)
みたいにすることをいう．
任意のv=(x,y,z)なんてのは
v=xv1+yv2+zv3
でしょう？
x=<v,v1>
y=<v,v2>
z=<v,v3>
でしょう？
これを逆手にとればいいだけ．

>どうしても一次結合の形に持っていけません。
No.3さんがいってるでしょう？
変形じゃないって．
逆です．一次結合を先に作るのです．

お礼

> ∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2
> この式がピタゴラスの定理だってことに気がつきませんか？

気はつきましたがどのようにうまい具合に持っていくか分かりませんでした。

> 簡単なケースで調べるってのは，R^3で
> v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1)
> みたいにすることをいう．
> 任意のv=(x,y,z)なんてのは
> v=xv1+yv2+zv3
> でしょう？
> x=<v,v1>
> y=<v,v2>
> z=<v,v3>
> でしょう？
> これを逆手にとればいいだけ．

<v,v_1>=∥→S_1H_1∥∥v_1∥cos∠(v,v_1)=∥→S_1H_1∥∥v_1∥より∥→S_1H_1∥=<v,v_1>/∥v_1∥…(1)
よって
→S_1H_1=(v_1/∥v_1∥)∥→S_1H_1∥
=(v_1/∥v_1∥)(<v,v_1>/∥v_1∥)
(∵<v,v_1>=∥v∥∥v_1∥cos∠(v,v_1)=∥→S_1H_1∥∥v_1∥より∥→S_1H_1∥=<v,v_1>/∥v_1∥)
=(<v,v_1>/∥v_1∥^2)v_1
=(<v,v_1>/<v_1,v_1>)v_1

と表せれるのですね。なので{v_1,v_2,…,v_m}が基底だと仮定すれば
vはv_1,v_2,…,v_mの一次結合で
v=(<v,v_1>/<v_1,v_1>)v_1+(<v,v_2>/<v_2,v_2>)v_2+…+(<v,v_m>/<v_m,v_m>)v_m.
という具合にと書け、今,v_1,v_2,…,v_mはノルム1なので
v=<v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_m.
で内積を採って
<v,v>=<v,v_1>^2+<v,v_2>^2+…+<v,v_m>^2.
となるのは分かりましたが
逆に
<v,v>=<v,v_1>^2+<v,v_2>^2+…+<v,v_m>^2だから
v=<v,v_1>v_1+<v,v_2>v_2+…+<v,v_m>v_mとはどうやって言えばいいのでしょうか?

回答No.5

koko_u_

>> じゃあ、ヒントだけ。
>> >どう変形すれば分かりますでしょうか?
>> 「変形」ではありません。
>
>すいません。わかりません。
>お教え下さい。

もうネタぎれ。
解答を書くことはできるけど、これ以上「教える」ことはできません。

回答No.4

kabaokaba

どうして「幾何的な意味」が分かってるのに
解けないのかな・・そこらへんの連結ができてない．
きっと直観が養われていない，つまり練習不足なんでしょう．

わかんなかったら，「簡単なケース」で調べる．
n=1,2,3くらいでやってみるとか
R^2で具体的なv1，v2をでっち上げてみるとか．

幾何的な理解とあわせれば
vをviの一次結合で表現するための規則性が分かり，
一次結合になること自体の証明は
よくやる手で簡単にとける．

お礼

> わかんなかったら，「簡単なケース」で調べる．
> n=1,2,3くらいでやってみるとか
> R^2で具体的なv1，v2をでっち上げてみるとか．
> 幾何的な理解とあわせれば
> vをviの一次結合で表現するための規則性が分かり，
> 一次結合になること自体の証明は
> よくやる手で簡単にとける．

ありがとうございます。
図に描いてみてとりあえず

Σ[i=1..m]<v,v_i>^2=Σ[i=1..m]∥→S_iH_i∥∥v_i∥^2+2Σ[i,j=1..m,i≠j]∥→S_iH_i∥∥v_j∥cos∠(→S_iH_i,v_j)∥→S_jH_j∥∥v_i∥cos∠(→S_jH_j,v_i)
=Σ[i=1..m]<→S_iH_i,v_i>^2+2Σ[i,j=1..m,i≠j]<→S_iH_i,v_j><→S_jH_j,v_i>と変形できて

∥v∥^2=(Σ[i=1..m]<→S_iH_i,v_i>)^2となり
<v,v>=(Σ[i=1..m]<→S_iH_i,v_i>)^2でここからどうしても一次結合の形に持っていけません。
どうすればいいのでしょうか?

回答No.3

koko_u_

じゃあ、ヒントだけ。

>どう変形すれば分かりますでしょうか?
「変形」ではありません。

お礼

> じゃあ、ヒントだけ。
> >どう変形すれば分かりますでしょうか?
> 「変形」ではありません。

すいません。わかりません。
お教え下さい。

回答No.2

koko_u_

>すいません。それからどうすればいいのでしょうか?

そのイメージで、はたして v が v_1 ～ v_m の一次結合となるかどうかを考える。

お礼

> そのイメージで、はたして v が v_1 ～ v_m の一次結合となるかどうかを考える。

すいません。考えてみたのですがどうしても一次結合になる事が分かりません。
どう変形すれば分かりますでしょうか?

回答No.1

koko_u_

>∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2をどうしてもv=(v_1,v_2,…,v_m一次結合)と変形できません。

その等式が幾何学的に意味する内容を考えましょう。

お礼

> >∥v∥^2=Σ[i=1..m]<v,v_i>^2をどうしてもv=(v_1,v_2,…,v_m一次結合)と変形できません。
> その等式が幾何学的に意味する内容を考えましょう。

∥v∥^2はvの長さの2乗ですよね。
　Σ[i=1..m]<v,v_i>^2は< , >は幾何ベクトルの内積と考えていいのですか?
そうするとvの終点からv_iへの垂線の足をH_i,v_iの始点をS_iとすると
線分H_iS_iとv_iの長さの積が<v,v_i>の意味だから
線分H_1S_1とv_1の長さの積の2乗から線分H_mS_mとv_mの長さの積の2乗までの和

それらが等しい。。。。

すいません。それからどうすればいいのでしょうか?