基底の条件についての証明

質問

ベクトル空間Ｖにおけるベクトルの組{ａk}(k=1,2,…,n)について

(i){ａk}の線形結合によってＶの任意のベクトルを表すことができる。
(ii)n個の{ａk}は線形独立である。
(ii)'{ａk}の線形結合はＶのベクトルを一意的に表す。

という基底の条件において
(ii)⇔(ii)'を証明するには
どのようにしたらよいのでしょうか??

単純な証明ではないらしいのですが
単純な解答しか思い浮かばないです…

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.5

koko_u_u

(ii) と (ii)' は別に V の元 "すべて" を {a_k} の一次結合が表現する、とはしていないので問題ないと思いますよ。
ただ、基底がここからどのように導入されようとしているのか、質問の文脈からはよく見えません。

>Ｘ,Ｘ'∈Ｖ^n
> {ｃk}{ｃ'k}(k=1,2,…,n)∈Ｖ

そしてイキナリ完全に間違えています。

そもそも証明の書き方がなってません。
だいたい 数式 2割、日本語 8割くらいの気持ちで書かないと他人に理解してもらうのは難しいよ。

回答No.4

uyama33

私は、同値ではないと思います。

質問者様の証明では
いつの間にか
Vの次元がnになっています。
しかし、
ベクトル空間Ｖの次元については条件Iがないと次元がｎ以下になりません。
条件IとIIがあれば、Vの次元が決定できるので、
条件IIだけでは、Vの次元はｎ以上としかいえません。
条件IとIIが両方あって初めて、条件IIIと同値になります。
したがって
（IかつII）⇔III
としなくてはなりません。

たとえば、３次元空間で
X1=(1,0.0)とX2=(0,1,0)は１次独立ですが、
この二つではｖ＝（１，１，１）を表現できません。

回答No.3

koko_u_u

> 単純な証明ではないらしいのですが
> 単純な解答しか思い浮かばないです…

その単純な解答を補足にどうぞ。

補足

(ii)⇒(ii)'
Ｘ,Ｘ'∈Ｖ^n
{ｃk}{ｃ'k}(k=1,2,…,n)∈Ｖ
Ｘ＝ｃ1ａ1＋ｃ2ａ2＋…＋ｃnａn
Ｘ'＝ｃ'1ａ1＋ｃ'2ａ2＋…＋ｃ'nａn
Ｘ－Ｘ'＝(ｃ1－ｃ'1)ａ1＋(ｃ2－ｃ'2)ａ2＋…＋(ｃn－ｃ'n)ａn
ここでＸ＝Ｘ'とするとＸ－Ｘ'＝０となるので
(ｃ1－ｃ'1),(ｃ2－ｃ'2),…,(ｃn－ｃ'n)＝0とならなければならない。
よってｃ1＝ｃ'1,ｃ2＝ｃ'2,…,ｃn＝ｃ'nとなる。

(ii)'⇒(ii)
ｃ1ａ1＋ｃ2ａ2＋…＋ｃnａn＝ｃ'1ａ1＋ｃ'2ａ2＋…＋ｃ'nａn
ならばｃ1＝ｃ'1,ｃ2＝ｃ'2,…,ｃn＝ｃ'nなので
(ｃ1－ｃ'1)ａ1＋(ｃ2－ｃ'2)ａ2＋…＋(ｃn－ｃ'n)ａn＝０より
(ｃ1－ｃ'1),(ｃ2－ｃ'2),…,(ｃn－ｃ'n)＝0なので
{ａk}は線形独立である。

これに間違いがあれば教えてくださいm(_ _)m

回答No.2

alice_44

「一意的に表す」というのを、どう定式化するか
だけの問題かな。

二通りに表してみたら、両者の係数は一致してた
という形に表すのが常道。
その二通りの線形結合の差を作ってみれば、
これが(ii)そのものの話であることが解かる。

お礼

やはりその方法しかないようですね。
ありがとうございました。m(_ _)m

回答No.1

reiman

これだけ単純な命題には単純な証明しかない
これに複雑な証明を考えるほど時間を無駄にするおめでたい人はいないでしょう

お礼

やっぱそうですよね…
先生の脅しをつい鵜呑みにしてしまいました。笑