線形空間

質問

サイトなど見てみたのですがわからないのでお願いします。

V:係数体K上の線形空間
とする。

{a1,a2,...,am}、{b1,b2,...,bn}がともにVの基底
であるとき m=nである。

線形空間（乗法（逆元）が定義されていない）なので行列のrankは使えないと思うのですが
「Vの任意の元はa1,a2,...,am(b1,b2,...,bn)の線形結合で表せる。」
「{a1,a2,...,am}、{b1,b2,...,bn}は線形独立」
をどう使えばよいかが分かりません。

回答No.2

muturajcp

[a_iが{b_j}_{j=1～n}の1次結合]_{i=1～m}で,
[b_jが{a_i}_{i=1～m}の1次結合]_{j=1～n}であるとき,
{a_i}_{i=1～m}と{b_j}_{j=1～n}は同値であるといい
{a_i}_{i=1～m}～{b_j}_{j=1～n}と表す
同値律
a～a
a～b→b～a
a～b～c→a～c
が成り立つ

取替え定理)
{b_j}_{j=1～s}は1次独立で
[b_jが{a_i}_{i=1～m}の1次結合]_{j=1～s}のとき,
{a_i}_{i=1～m}の中の適当なs個のベクトルを
{b_j}_{j=1～s}と置き換えて得られる組が
もとの組と同値であるようにできる。
証明)
s=0のときは自明である
そこで数学的帰納法を使う
今
{a_i}_{i=1～m}の中の適当なs-1個のベクトルを
{b_j}_{j=1～s}の中のs-1個と置き換えることができて
{b_1,b_2,…,b_{s-1},a_n,…,a_m}～{a_i}_{i=1～m}
であると仮定する
b_sは{a_i}_{i=1～m}の1次結合だから、
これと同値な組の1次結合
b_s=Σ_{j=1～s-1}(c_j)(b_j)+Σ_{j=s～m}(c_j)(a_j)…(1)
となる
もしj=s～mに対してc_j=0であれば
b_sは{b_j}_{j=1～s-1}の1次結合となり
これは{b_j}_{j=1～s}の一次独立性に反する
よって{c_j}_{j=s～m}の中,少なくとも1つは0でない
一般性を失うことなくc_s≠0と仮定してよい
h_s=-1/c_s
j≠nに対して
h_j=c_j/c_s
とすると(1)から
a_s=Σ_{j=1～s}(h_j)(b_j)+Σ_{j=s+1～m}(h_j)(a_j)…(2)
となる
(1)から
{b_1,b_2,…,b_{s-1},b_s,a_{s+1},…,a_m}の各元は
{b_1,b_2,…,b_{s-1},a_s,a_{s+1},…,a_m}の1次結合で
(2)から
{b_1,b_2,…,b_{s-1},a_s,a_{s+1},…,a_m}の各元は
{b_1,b_2,…,b_{s-1},b_s,a_{s+1},…,a_m}の1次結合で
仮定から
{b_1,b_2,…,b_{s-1},b_s,a_{s+1},…,a_m}
～{b_1,b_2,…,b_{s-1},a_n,a_{s+1},…,a_m}
～{a_i}_{i=1～m}
(証明終)

s=mとすると
取替え定理(s=m)
{b_j}_{j=1～m}は1次独立で
[b_jが{a_i}_{i=1～m}の1次結合]_{j=1～m}のとき,
{a_i}_{i=1～m}～{b_j}_{j=1～m}
となる

もしn>mならば
{b_j}_{j=1～n}が1次独立だから
{b_j}_{j=1～m}は1次独立で
[b_jが{a_i}_{i=1～m}の1次結合]_{j=1～m}だから,
取替え定理(s=m)から
{a_i}_{i=1～m}～{b_j}_{j=1～m}
b_nは{a_i}_{i=1～m}の1次結合だから,
b_nはそれと同値な{b_j}_{j=1～m}の1次結合となって
{b_j}_{j=1～n}が1次独立である事に矛盾するから
n≦m

もしn<mならば
{a_i}_{i=1～m}が1次独立だから
{a_i}_{i=1～n}は1次独立で
[a_iが{b_j}_{j=1～n}の1次結合]_{i=1～n}だから,
取替え定理(s=n)から
{a_i}_{i=1～n}～{b_j}_{j=1～n}
a_mは{b_j}_{j=1～n}の1次結合だから,
a_mはそれと同値な{a_i}_{i=1～n}の1次結合となって
{a_i}_{i=1～m}が1次独立である事に矛盾するから
m≦n
∴
m=n

回答No.1

Tacosan

「どういうサイトで」「どう書いてあって」「どこが分からないのか」を書いた方がいいと思うなぁ.