Vが2×2対称行列全体なら(x,y,z)はVのある基底に関しての成分である事を示せ

質問

よろしくお願い致します。

LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.

と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V×V→Kがありf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義すると,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

それで次の問題を解きたいのですが、、、

[problem] Let V be the vector space over R of 2×2 real symmetric matrices.
(1) Given a symmetric matrix A=
x,y
y,z.
Show that (x,y,z) are the coordinates of A with respect to some basis of the vector space of all 2×2 symmetric matrices. Which basis?
(2) Let f(A)=xz-yy=xz-y^2.
If we view (x,y,z) as the coordinates of A then we see that f is a quadratic form on V. Note that f(A) is the determinant of A,which could be defined here ad foc in a simple way.
Let W be the subspace of V consisting of all A such that tr(A)=0.
Show that for A∈W and A≠O we have f(A)<0. This means that the quadratic form is negative define on W.

negative defineとは∀v∈Vに対して<v,v>≦0そしてv≠Oなら<v,v><0というものです。

(1)については
V:={A;Aは対称行列}とする。Aは変数が3つなので
{(x,y,z)∈R^3;x,y,z∈R}={(x,y,z)∈R^3;M}
(但しMは行列
x,y
y,z
の事)
従って,(x,y,z)は全ての2×2対称行列のある基底に関しての成分を表している。
、、、とこんな解答でいいのでしょうか?

Which basis?は「何が基底?」という意味でしょうか。
Vの基底として{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}が採れると思います。

(2)については
W:={A∈V;tr(A)=0,A is symmetric}で
O≠∀A∈Wに対しtr(A)=0よりx+z=0.よってf(A)=xz-y2=-x2-y2<0 (∵A≠O).
としてみたのですがこれもこんな解答でいいのでしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>これは意味が分かりません。どのようにして示せばいいのでしょうか?

もう自分で示してるのでは？
「成分の定義」を理解してますか？
成分というのは基底に依存するのです．

例えば
ベクトル(1,1)は基底(1,0)，(0,1)で考えれば成分は(1,1)だけども
基底(1,1)，(1,0)で考えれば成分は(1,0)です．
これは
(1,1)=1(1,0)+1(0,1)
(1,1)=1(1,1)+0(1,0)
ということです．

お礼

どうもありがとうございました。
とても勉強になりました。

回答No.2

kabaokaba

>fが二次形式とはg:V×V→Kがありf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義すると,
>fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

数学的にはこれもある意味正しいのですが，
英文で述べられているのはこういうことではないです．
なお，以下のようになります．
(A)双線型対称写像g:V x V->Kに対して
f(v)=g(v,v)と定めればfは二次形式
(B)二次形式fに対して，g(x,y)=(f(x+y)-f(x)-f(y))/2と定めれば
gは双線型対称写像である
＃なお，二次形式そのものの定義は
＃斉次な二次多項式とすることが多いかもしれません．
＃おそらく，この問題の出題者もこの定義を使ってるはず

なお，英文部分を訳すと

Vを体K上の有限次元空間（正しくはベクトル空間．なお，体Kの標数は2ではないとするのが普通）とする．gをV上の「スカラー積」とする（恐らく，スカラー積とは「双線型対称写像」のことだろう）．このとき，gによって定められる二次形式（これが上に挙げた(A)の内容）によって，f(v)=g(v,v)と定める．

というところでしょう．

問題の答えとしては，(1)の場合は
No.1さんの三つの行列がきちんと基底になってることを示して，
それによる成分が(x,y,z)であることを示さないとだめです．
質問者の解答では何も証明されてません．

(2)に関してはそういうことですが，
問題文にあるいくつかの「＊＊＊となる」的な事柄は
解答に書く必要はないですが，
すべてきちんと自分で証明できないといけない
極めて基本的な事柄です．

お礼

> なお，以下のようになります．
> (A)双線型対称写像g:V x V->Kに対して
> f(v)=g(v,v)と定めればfは二次形式

ありがとうございます。

> なお，英文部分を訳すと
> Vを体K上の有限次元空間（正しくはベクトル空間．なお，体Kの標数は2ではないとするのが普通）とする．
> gをV上の「スカラー積」とする（恐らく，スカラー積とは「双線型対称写像」のことだろう）．
>このとき，gによって定められる二次形式（これが上に挙げた(A)の内容）によって，f(v)=g(v,v)と定める．
> というところでしょう．

ありがとうございます。

> 問題の答えとしては，(1)の場合は
> No.1さんの三つの行列がきちんと基底になってることを示して，

c_1E+c_2F+c_3G=O(c_1,c_2,c_3∈K)とすると
c_1=c_2=c_3=0なのでE,F,Gは一次独立。

Vの任意の元
x,y
y,z に対し,

xE+yF+zG∈span{E,F,G}となるので
V⊂span{E,F,G}。よって{E,F,G}はVの基底になっている。
でよろしいでしょうか?

> それによる成分が(x,y,z)であることを示さないとだめです．

これは意味が分かりません。どのようにして示せばいいのでしょうか?

> (2)に関してはそういうことですが，
> 問題文にあるいくつかの「＊＊＊となる」的な事柄は
> 解答に書く必要はないですが，
> すべてきちんと自分で証明できないといけない
> 極めて基本的な事柄です．

了解いたしました。

回答No.1

noname#161582

2×2実対称行列全体の集合Vは3次元ベクトル空間なので、Vに属する任意の
ベクトルAは適当な基底ベクトルE,F,Gの一次結合で表わすことができます。

問(1)は、
『基底ベクトルE,F,Gに関するAの座標が(x,y,z)となるようなE,F,Gを求めよ』
ということだと思います。

つまり A=xE+yF+zG をみたすE,F,Gを求めよ、ということでしょう。

選び方は他にもあるかもしれませんが、一番簡単なのは
E=
(1 0)
(0 0)
F=
(0 1)
(1 0)
G=
(0 0)
(0 1)
です。(うまく表記できませんが2×2行列です。)

問(2)はそれで問題無いと思います。

お礼

どうもありがとうございました。
とても勉強になりました。