Vの基底になることを言いたいのですが…

質問

実質の疑問点は一番下に書いてあります。

体ｋ上のベクトル空間Vがn個のベクトルより成る基底を持つならば
Vのｋ上線形独立なベクトル有限集合を{u1,u2,…,us}とすれば常に
s≦n　　となることを証明したいです

{v1,v2,…,vn}をVの基底とする。s>nと仮定すると{u1,u2,…,us}から
適当なn個のベクトルを選んでVの基底とすることができるとを示し
矛盾を導きます

いま
u1=c1v1+…+cnvn (c1,…,cn∈k)
と書けている。u1≠0であるから、ある1≦i≦nに対してci≠0となる。
i=1と仮定して良い。
v1=c1^-1(u1-c2v2-…-cnvn)であるから
集合{u1,v2,…,vn}はVの基底となる。

ここで疑問なのです
「Vの基底となる」を示したいのですが
基底の定義の
(1){u1,v2,…,vn}はk上線形独立
(2)の任意のVのベクトルが{u1,v2,…,vn}の線形結合

(1)は出来ましたが(2)の示し方が解りません
一応やってみたのですが↓
V＝〈v1,…vn〉,u1∈V
〈u1,v2,…vn〉⊆V…(1)→なんで？
今 v1∈〈u1,v2,…vn〉…(2)なんで？
　={c1^-1(u1-c2v2-…-cnvn)｜c1,…cn∈k}
V＝〈v1,v2,…,vn〉⊆〈u1.v2,…,vn〉…(3)なんで？
⊆、⊇が言えたのでV=〈u1,v2,…,vn〉

(1)〈u1,v2,…vn〉⊆Vがなんで言えるのか？
(2)v1∈〈u1,v2,…vn〉がなんで言えるのか？
(3)〈v1,v2,…,vn〉⊆〈u1.v2,…,vn〉がなんで言えるのか？
自分ではわかりません。
どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えてください

回答No.1

Tacosan

(1): u1, v2, ..., vn ∈ V で V がベクトル空間であることから.
(2): v1 が u1, v2, ..., vn の線形結合で書けるので.
(3): v1, v2, ..., vn の線形結合で書ける任意のベクトル x が u1, v2, ..., vn の線形結合で書けることを示せばいいが v1 は u1, v2, ..., vn の線形結合で書けている.
結局「ベクトル空間」とか「線形結合」とかの性質を使えば全てほぼ自明だったりします.

お礼

ありがとうございました
とても参考になりました。